高三第二学期质量检查数学试卷（文科）

高三第二学期质量检查数学试卷（文科）

　　

本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），全卷满分150分，考试时间120分钟.

参考公式：

如果事件A、B互斥，那么P（A+B）=P（A）+P（B）

如果事件A、B相互独立，那么P（A·B）=P（A）·P（B）

如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率P_n(k)=C_n^kP^k(1－P)^n－k

球的表面积公式：S=4πR²，其中R表示球的半径.

球的体积公式：V=πR³，其中R表示球的半径.

第I卷（选择题，共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．已知全集则　　　　　　　　　　　　（　　）

　　　 A．M∪N=R　　　　　　 B．M∩N=　　　　　　C．　　　　　　　D．

2．将函数y=sinx按向量=（－，3）平移后的函数的解析式为　　　　　　　　　　　　 （　　）

　　　 A．y=sin(x－)+3　　　　　　　　　　　　　　　　　B．y=sin(x－)－3

　　　 C．y=sin(x+)+3　　　　　　　　　　　　　　　　　　D．y=sin(x+)－3　

3．设l、m、n表示三条直线，α、β、γ表示三个平面，则下面命题不不成立的是（　　）

　　　 A．若l⊥α,m⊥α,则l∥m　　　　　　　　　　　

　　　 B．若mβ，n是l在β内的射影，m⊥l，则m⊥n

　　　 C．若mα，nα,m∥n，则n∥α

　　　 D．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β

4．如果数列是首项为1，公比为2的等比数列，

　 那么=　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （　　）

　　　 A．2ⁿ⁺¹－1　　　　　　　 B．2ⁿ－1　　　　　　　　　C．2^n－1D．2ⁿ+1

5．过曲线y=6x－x³上一点（2，4）的切线斜率是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

　　　 A．－3　　　　　　　　　　 B．3　　　　　　　　　　　　C．－6　　　　　　　　　　 D．6

6．0<x<5是不等式x－2<4成立的　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

　　　 A．充分不必要条件　　　　　　　　　　　　　　　　 B．必要不充分条件

　　　 C．充要条件　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．既不充分也不必要条件

7．有A、B两种类型的车床各一台，现有甲、乙、丙三名工人，其中甲、乙都会操作两种车

　 床，丙只会操作A种车床，现从这三名工人中选2人分别去操作以上车床，则不同的

　 选派方法有　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （　　）

　　　 A．6种　　　　　　　　　　B．5种　　　　　　　　　　C．4种　　　　　　　　　　D．3种

8．直线xsinθ+ycosθ=2+sinθ与圆(x－1)²+y²=4的位置关系是　　　　　　　　　　　　　　　 （　　）

　　　 A．相离　　　　　　　　　 B．相切　　　　　　　　　 C．相交　　　　　　　　　 D．以上都有可能

9．已知x、y满足约束条件的最小值为　　　　　　　　　　 （　　）

　　　 A．7　　　　　　　　　　　　B．　　　　　　　　　　　C．－5　　　　　　　　　　 D．5

10．如图，∠ACB=90°，平面ABC外有一点P，PC=4cm，点P到角的两边AC、BC的距离都等于2cm，那么PC与平面ABC所成角的大小为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （　　）

　　　 A．30°　　　　　　　　　 B．45°　　　　　　　　　

　　　 C．60°　　　　　　　　　 D．75°

11．过抛物线y²=4x的焦点的直线交抛物线于A、B两点，

O为坐标原点，则的值是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （　　）

　　　 A．12　　　　　　　　　　　B．－12　　　　　　　　　

　　　 C．3　　　　　　　　　　　　D．－3

12．设函数f(x)在定义域内可导，y= f(x)的图象如右图所示，

则导函数y= f′(x)的图象可能为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

　　　

第Ⅱ卷（非选择题；共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中的横线上.

13．有一组数据：x₁,x₂,…,x_n(x₁≤x₂≤…≤x_n)，它们的算术平均值为20，若去掉其中的x_n，余下数据的算术平均值为18，则x_n关于n的表达式为　　　　　　　 　.

14．正方体的全面积是24cm²,它的顶点都在一个球面上，这个球的表面积是　　　　  cm².

15．已知P是椭圆上的一点，F₁、F₂是椭圆的两个焦点，且∠F₁PF₂=60°，则△F₁PF₂的面积是　　　　　　　   .

16．设展开式中含x²项的系数，则=

　 　　　　　　　 .

三、解答题：本大题6个小题，共74分.解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17．（本小题满分12分）

，其中.

（I）求的取值范围；

（II）若函数的大小.

18．（本小题满分12分）

　　已知，如图四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PG⊥平面ABCD，垂足为G，G在AD上，且AG=GD，BG⊥GC，GB=GC=2，E是BC的中点，四面体P—BCG的体积为.

（Ⅰ）求异面直线GE与PC所成的角；

（Ⅱ）求点D到平面PBG的距离；

（Ⅲ）若F点是棱PC上一点，且DF⊥GC，求的值.

19．（本小题满分12分）

　　冰箱中放有甲、乙两种饮料各5瓶，每次饮用时从中任意取1瓶甲种或乙种饮料，取用甲种或乙种饮料的概率相等.

（Ⅰ）求甲种饮料饮用完毕而乙种饮料还剩下3瓶的概率；

（Ⅱ）求甲种饮料被饮用瓶数比乙种饮料被饮用瓶数至少多4瓶的概率.

20．（本小题满分12分）

　　已知数列{a_n}中，a₂=a+2(a为常数)；S_n­是{a_n}的前n项和，且S_n­是na_n与na的等差中项.

（Ⅰ）求通项公式a_n ;

（Ⅱ）求证以为坐标的点P_n(n=1, 2, …)都落在同一直线上.

21．（本小题满分12分）

　　设A、B分别为双曲线，的左、右两个顶点，P为双曲线上一点，AB=BP=4，∠PAB=30°.

（Ⅰ）求双曲线方程;

（Ⅱ）设M为（I）中双曲线上任一动点，

过B点作直线l₁，使得l₁⊥BM，过A点作直线l₂，

使得l₂⊥AM，l₁，l₂相交于点N，求点N的轨迹方程.

22．（本小题满分14分）

　　已知二次函数f(x)=ax²+(a+1)x－a,方程f(x)=0两实根的差的绝对值等于2.

（Ⅰ）求实数a的值.

（Ⅱ）是否存在实数λ,使得函数F(x)=f[f(x)]+ λ f(x),在区间（－∞，－3）内是增函数，在（－3，0）内是减函数？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由.

　　　

第二学期高三质量检查

数学试卷（文科）参考答案及评分标准

一、选择题

1．B　2．C　3．D　4．B　5．C　6．A　7．C　8．B　9．C　10．B　11．D　12．D

二、填空题

13．　14．12π　 15．　 16．.

三、解答题

17．解法一：

18．解法一：

　 （I）由已知

∴PG=4…………2′

如图所示，以G点为原点建立空间直角坐标系o—xyz，

则

B（2，0，0），C（0，2，0），P（0，0，4）

故E（1，1，0）

∴异面直线GE与PC所成的角为arccos……………………4′

（II）平面PBG的单位法向量

∴点D到平面PBG的距离为……………………8′

（III）设F（0，y , z）

在平面PGC内过F点作FM⊥GC，M为垂足，则

……………………………………………………………………12′

解法二：

　　（I）由已知

∴PG=4…………2′

在平面ABCD内，过C点作CH//EG

交AD于H，连结PH，则

∠PCH（或其补角）就是异面直线GE

与PC所成的角.………………3′

在△PCH中，

由余弦定理得，cos∠PCH=

∴异面直线GE与PC所成的角为arccos……………………4′

（II）∵PG⊥平面ABCD，PG平面PBG

∴平面PBG⊥平面ABCD

在平面ABCD内，过D作DK⊥BG，交BG延长线于K，则DK⊥平面PBG

∴DK的长就是点D到平面PBG的距离…………………………6′

在△DKG，DK=DGsin45°=

∴点D到平面PBG的距离为……………………………………8′

（III）在平面ABCD内，过D作DM⊥GC，M为垂足，连结MF，又因为DF⊥GC

∴GC⊥平面MFD， ∴GC⊥FM

由平面PGC⊥平面ABCD，∴FM⊥平面ABCD　∴FM//PG

由GM⊥MD得：GM=GD·cos45°=…………………………10′

…………12′

19．解：（I）由题意知，甲种已饮用5瓶，乙种已饮用2瓶。记“饮用一次，饮用的是甲种饮料”为事件A，则P=P(A)=.题（I）即求7次独立重复试验中事件A发生5次的概率为：…………………………6′

　 （II）有且仅有3种情形满足要求：

　　甲被饮用5瓶，乙被饮用1瓶；甲被饮用5瓶，乙没有被饮用；甲被饮用4瓶，乙没有被饮用.……………………………………………………………………8′

　　所求概率为：P₆(5)+P₅(5)+P₄(4) ………………………………………9′

　　　　　　　 =C₆⁵P⁵(1－P)+C₅⁵P⁵+C₄⁴P⁴

　　　　　　　 =…………………………………………………………11′

　　答：甲饮料饮用完毕而乙饮料还剩3瓶的概率为，甲饮料被饮用瓶数比乙饮料被饮用瓶数至少多4瓶的概率为.……………………………………12′

20．（I）解：∵S_n是na_n­与na的等差中项.

　　　 ∴…………………………………………2′

当n=1时，S₁=a₁，∴2a₁=a₁+a, ∴a₁=a……………………………3′

又∵a₂=a+2,且{a_n}是等差数列

∴公差d=a₂－a₁=2

∴a_n=a₁+(n－1)d=a+2(n－1) ……………………………6′

（II）证明当n≥2时，∵a_n=a+2(n－1)

……）都落在同一直线上.…………………………12′

21．（I）解法一：∵AB=4

∴2a=4, ∴a=2……………………1′

过P点做PC⊥x轴，C为垂足

在△ABP中，∵AB=BP=4，∠PAB=30°

∴∠PBC=2∠PAB=60°

∴PC=PB·sin60°=4·

BC=PB·cos60°=4·=2　　 …………4′

∵双曲线方程为

∴所求的双曲线方程为………………………………6′

（II）解法一，设M（x₀,y₀）, N(x,y)

∵A(－2，0)，B（2，0）

NB⊥MB，NA⊥MA

…………8′

…………②

…………①

………………③

经检验点（2，0）、（－2，0）不合

∴N点轨迹方程为x²－y²=4（点（2,0），（－2，0）除外）……………………12′

解法二：设M（x₀,y₀）　N(x, y)

∵NB⊥MB，NA⊥MA

………………………………11′

经检验点（2，0），（－2，0）不合

∴N点轨迹方程为x²－y²=4（点（2，0），（－2，0）除外）………………12′

解法三：∵MA⊥NA

∴………………（1）……………………………………7′

连接M、N，设M、N的中点为R.

∵MA⊥NA，NB⊥MB，　∴AR=NM，BR=NM

∴AR=RB，∴R在y轴上.

∴…………（2）………………………………9′

把（2）代入（1）得：………………（3）

由（3）、（4）代入

整理得……………………………………………………11′

经检验，点（2，0）（－2，0）不合.

∴N点轨迹方程为x²－y²=4（点（2，0），（－2，0）除外）………………12′

22．解：（I）

（II）………………………………6′

设存在实数λ满足要求，则

∴存在实数λ=－16适合题目要求.………………………………………14′