高考数学普通高等学校招生全国统一考试7
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至10页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的
1．直线
对称的直线方程为
（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
2．已知
，
，则
（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
3．抛物线
的准线方程是
的值为
（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
4．等差数列
中，已知
为（ ）
（A）48 （B）49 （C）50 （D）51
5．双曲线虚轴的一个端点为M，两个焦点为
，则双曲线的离心率为（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
6．设函数
，若
，则
的取值范围是 （ ）
（A）（
，1）
（B）（，
）
（C）（
，
）
（0，）
（D）（，）（1，）
7．已知
（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
8．函数
（ ）
（A）0 （B）
（C）
（D）
9．已知
（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
10．已知圆锥的底面半径为R，高为3R，它的内接圆柱的底面半径为
，该圆柱的全面积为（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
11．已知长方形的四个顶点A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1），一质点从AB的中点
沿与AB夹角为
的方向射到BC上的点
后，依次反射到CD、DA和AB上的点
、
和
（入射角等于反射角）。若
重合，则tg= （ ）
（A）
（B）
（C）
（D）1
12．一个四面体的所有棱长都为
，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）
数 学（文史类）
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二.填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在题中横线上。
13．不等式
的解集是____________________.
14．
的展开式中
系数是
________ .
15．在平面几何里，有勾股定理：“设
。”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥
的三个侧面
两两互相垂直，则______________________________________________.”
16．如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有
种_______________________。（以数字作答）
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或或演算步骤
17．（本小题满分12分）
已知正四棱柱
点中点。
（Ⅰ）证明
的公垂线
（Ⅱ）求点
的距离。
18．（本小题满分12分）
已知复数
的辐角为
，且
是
和
的等比中项，求.
19．（本小题满分12分）
已知数列
满足
（Ⅰ）求
；
（Ⅱ）证明
。
20．（本小题满分12分）
已知函数
。
（Ⅰ）求函数
的最小正周期和最大值；
（Ⅱ）在给出的直角坐标系中，画出函数
在区间
上的图象。
21．（本小题满分12分）
在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O（如图）的东偏南
方向300km的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北
方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？
22．（本小题满分14分）
已知常数
，在矩形ABCD中，
，
，O为AB的中点，点E、F、G分别在BC、CD、DA上移动，且
，P为GE与OF的交点（如图），问是否存在两个定点，使P到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由。
普通高等学校招生全国统一考试(全国卷)
数学（文史类）答案
一、选择题：本题考查基本知识和基本运算. 每小题5分，满分60分.
1．C 2．D 3．B 4．C 5．B 6．D
7．D 8．C 9．C 10．B 11．C 12．A
二、填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题4分,满分16分.
13．
14．
15．
16．72
三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．（I）证明：取BD中点M，连结MC，FM，
∵F为BD1中点， ∴FM∥D1D且FM=
D1D
又EC=
CC1，且EC⊥MC，
∴四边形EFMC是矩形 ∴EF⊥CC1
又CM⊥面DBD1 ∴EF⊥面DBD1
∵BD1
面DBD1，
∴EF⊥BD1 故EF为BD1与CC1的公垂线
（II）解：连结ED1，有V
由（I）知EF⊥面DBD1，设点D1到面BDE的距离为d，
则S△DBC·d=S△DCD
·EF.
∵AA1=2·AB=1.
故点D1到平面BDE的距离为
.
18．解：设z=
由题设
即
（舍去） 即z=
19．（I）解∵
（II）证明：由已知
=
所以
20．解（I）
所以函数的最小正周期为π，最大值为
.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
|
|
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|
|
|
| 1 |
| 1 |
| 1 |
故函数
在区间
上的图象是（如右图）：
21．解：如图建立坐标系：以O为原点，正东方向为x轴正向.
在t时刻：t（h）台风中心
的坐标为
此时台风侵袭的区域是
，
其中
t+60，
若在t时，该城市O受到台风的侵袭，则有
即
即
， 解得
.
答：12小时后该城市开始受到台风气侵袭
22．解：根据题设条件，首先求出点P坐标满足的方程，据此再判断是否存在两定点，使得点P到定点距离的和为定值.
由题意有A（－2，0），B（2，0），C（2，4a），D（－2，4a）
设
，
由此有E（2，4ak），F（2－4k，4a），G（－2，4a－4ak）.
直线OF的方程为：
， ①
直线GE的方程为：
. ②
从①，②消去参数k，得点P（x，y）坐标满足方程
，
整理得
.
当
时，点P的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点.
当
时，点P轨迹为椭圆的一部分，点P到该椭圆焦点的距离的和为定长.
当
时，点P到椭圆两个焦点
的距离之和为定值
.
当
时，点P到椭圆两个焦点
的距离之和为定值