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高考数学普通高等学校招生全国统一考试10
数 学(理工农医类)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷1至2页。第Ⅱ卷3至10页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
注意事项：
1.答第一卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。
2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦
干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上。
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一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
（1）
（A）
（B）
（C）
（D）
（2）已知
（A）
（B）
（C）
（D）
（3）设函数
若
（A）
（B）
（C）
（D）
（4）O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足
则P的轨迹一定通过
的
（A）外心 （B）内心 （C）重心 （D）垂心
（5）函数
的反函数为
（A）
（B）
（C）
（D）
（6）棱长为
的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为
（A）
（B）
（C）
（D）
（7）设
曲线
处切线的倾斜角的取值范围为
则
对称轴距离的取值范围为
（A）
（B）
（C）
（D）
（8）已知方程
的四个根组成一个首项为
的等差数列，则
（A）1
（B）
（C）
（D）
（9）已知双曲线中心在原点且一个焦点为
，直线
与其交于
两点，
中点的横坐标为
，则此双曲线的方程是
（A）
（B）
（C）
（D）
（10）已知长方形的四个顶点A(0,0)、B(2,0)、C(2,1)和D(0,1)，一质点从AB的中点P0沿与AB夹角为
的方向射到BC上的点P1后，依次反射到CD、DA和AB上的点P2、P3和 P4（入射角等于反射角）．设P4的坐标为(
)．若
，则
的取值范围是
（A）
（B）
（C）
（D）
（11）
（A）3
（B）
（C）
（D）6
（12）一个四面体的所有棱长都为
，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为
（A）
（B）
（C）
（D）
普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)
数 学(理工农医类)
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
注意事项：
1. 用钢笔或圆珠笔直接答在试题中。
2. 答卷前将密封线内的项目填写清楚。
| 题 号 | 二 | 三 | 总 分 | |||||
| 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | |||
| 分 数 | ||||||||
| 得分 | 评卷人 |
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二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题
中横线上．
（13）
展开式中
的系数是_________________．
（14）某公司生产三种型号的轿车,产量分别为1200辆，6000辆和2000辆，为检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取________，_________，_________辆．
（15）某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分(如图)，现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有____________种．(以数字作答)
（16）下列五个正方体图形中，
是正方体的一条对角线，点M，N，P分别为其所在棱的
中点，能得出⊥面MNP的图形的序号是______________．(写出所有符合要求的图形序号)
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三．解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
| 得分 | 评卷人 |
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（17）（本小题满分12分）
已知函数
．
（Ⅰ）求函数
的最小正周期和最大值；
（Ⅱ）在给出的直角坐标系中，画出函数
在区间
上的图象．
  |
| 得分 | 评卷人 |
|
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（18）（本小题满分12分）
如图，在直棱柱
中，底面是等腰直角三角形，
，侧棱
，
分别是
与
的中点，点
在平面
上的射影是
的重心
．
（Ⅰ）求与平面所成角的大小(结果用反三角函数值表示)；
（Ⅱ）求点
到平面
的距离．
| 得分 | 评卷人 |
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（19）（本小题满分12分）
设
，求函数
的单调区间．
| 得分 | 评卷人 |
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（20）（本小题满分12分）
A、B两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A队队员是A1、A2、A3，B队队员是B1、B2、B3，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负概率如下：
| 对阵队员 | A队队员胜的概率 | A队队员负的概率 |
| A1对B1 |
|
|
| A2对B2 |
|
|
| A3对B3 |
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现按表中对阵方式出场，每场胜队得1分，负队得0分，设A队、B队最后所得总分分别为
．
（Ⅰ）求的概率分布；
（Ⅱ）求
．
| 得分 | 评卷人 |
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（21）（本小题满分12分）
已知常数，向量
，经过原点
以
为方向向量的直线与经过定点
以
为方向向量的直线相交于点
，其中
．试问：是否存在两个定点
，使得
为定值，若存在，求出的坐标；若不存在，说明理由．
| 得分 | 评卷人 |
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（22）（本小题满分14分）
设
为常数，且
．
（Ⅰ）证明对任意
≥1，
；
（Ⅱ）假设对任意≥1有
，求的取值范围．
普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数学试题（理工农医类）参考解答
一、选择题：本题考查基本知识和基本运算。每小题5分，满分60分。
1.B 2.D 3.D 4.B 5.B 6.C 7.B 8.C 9.D 10.C 11.B 12.A
二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分。
13．
14．6，30，10
15．120
16．①④⑤
三、解答题
17．本小题主要考查三角函数的基本性质和恒等变换的基本技能,考查画图的技能.满分12分.
解：（1）
|
所以函数
的最小正周期为
，最大值为
.
（2）由（1）知 
故函数
在区间
上的图象是
18．本小题主要考查线面关系和直棱柱等基础知识，同时考查空
间想象能力和推理运算能力. 满分12分.
解法一：（Ⅰ）解：连结BG，则BG是BE在面ABD的射影，即∠EBG是A1B与平面ABD所成的角.
设F为AB中点，连结EF、FC，
|
（Ⅱ）连结A1D，有
, 设A1到平面AED的距离为h，
则
. 故A1到平面AED的距离为
.
19．本小题主要考查导数的概念和计算，应用导数研究函数性质的方法及推理和运算能力. 满分12分.
解：
.
当
时 
.
（i）当
时，对所有
，有
.
即
，此时在
内单调递增.
（ii）当
时，对
，有
，
即，此时在（0，1）内单调递增，又知函数在x=1处连续，因此，
函数在（0，+
）内单调递增
（iii）当
时，令，即.
解得
.
因此，函数在区间
内单调递增，在区间
内也单调递增.
令
，
解得
.
因此，函数在区间
内单调递减.
20．本小题考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念，考查运用概率知识解决实际问题的能力（满分
12分）.
解：（1）ξ、η的可能取值分别为3，2，1，0.
，
又
， 
，
.
解法二：（1）连结BG，则BG是BE在面ABD的射影，即∠A1BG是A1B与平面ABD所成的角.
如图所示建立坐标系，坐标原点为O，设CA=2a，
则A（2a，0，0），B（0，2a，0），D（0，0，1） A1（2a，0，2）
|
）.
，
，解得a=1.
.
A1B与平面ABD所成角是
.
（2）由（1）有A（2，0，0），A1（2，0，2），E（1，1，1），D（0，0，1）
平面AA1E，又ED
平面AED.
∴平面AED⊥平面AA1E，又面AED
面AA1E=AE，
∴点A在平面AED的射影K在AE上.
设
， 则
由
，即
， 解得
.
根据题意知ξ+η=3，所以 P(η=0)=P(ξ=3)=
, P(η=1)=P(ξ=2)= 
P(η=2)=P(ξ=1)= 
, P(η=3)=P(ξ=0)= 
.
（2）
； 因为ξ+η=3，所以 
21．本小题主要考查平面向量的概念和计算,求轨迹的方法，椭圆的方程和性质，利用方程判定曲线的性质，曲线与方程的关系等解析几何的基本思想和综合解题能力，满分12分.
解：根据题设条件，首先求出点P坐标满足的方程，据此再判断是否存在两定点，使得点P到两定点距离的和为定值.
∵i=（1，0），c=（0，a）， ∴c+λi=（λ，a），i－2λc=（1，－2λa）.
因此，直线OP和AP的方程分别为 
和 
.
消去参数λ，得点
的坐标满足方程
.
整理得 
……① 因为
所以得：
（i）当
时，方程①是圆方程，故不存在合乎题意的定点E和F；
（ii）当
时，方程①表示椭圆，焦点
和
为合乎题意的两个定点；
（iii）当
时，方程①也表示椭圆，焦点
和
为合乎题意的两个定点.
22．本小题主要考查数列、等比数列的概念，考查数学归纳法，考查灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力，满分14分.
（1）证法一：（i）当n=1时，由已知a1=1－2a0，等式成立；
（ii）假设当n=k（k≥1）等式成立，则
那么
也就是说，当n=k+1时，等式也成立. 根据（i）和（ii），可知等式对任何n∈N，成立.
证法二：如果设
用
代入，可解出
.
所以
是公比为－2，首项为
的等比数列.
即
（2）解法一：由
通项公式 
等价于 
……①
（i）当n=2k－1，k=1，2，…时，①式即为 
即为 
……②
②式对k=1，2，…都成立，有 
（ii）当n=2k，k=1，2，…时，①式即为 
即为 
……③
③式对k=1，2，…都成立，有
综上，①式对任意n∈N*，成立，有
故a0的取值范围为
解法二：如果
（n∈N*）成立，特别取n=1，2有 
因此 
下面证明当时，对任意n∈N*，
由an的通项公式 
（i）当n=2k－1，k=1，2…时， 
（ii）当n=2k，k=1，2…时，
故a0的取值范围为