高考数学普通高等学校招生全国统一考试11

高考数学普通高等学校招生全国统一考试11

数学试题

第Ⅰ卷（选择题　共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．如果函数的图象与x轴有两上交点，则点（a，b）在aOb平面上的区

　 域（不包含边界）为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （　　）

2．抛物线的准线方程是y=2，则a的值为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （　　）

　　　 A．　　　　　　　　　　　B．－　　　　　　　　　 C．8　　　　　　　　　　　　D．－8

3．已知　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （　　）

　　　 A．　　　　　　　　　　B．－　　　　　　　　 C．　　　　　　　　　　D．－

4．设函数则x₀的取值范围是　　　　（　　）

　　　 A．（－1，1）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　B．（－1，+∞）

　　　 C．（－∞，－2）∪ （0，+∞）　　　　　　　D．（－∞，－1）∪（1，+∞）

5．O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足　　　　　　　　

　 则P的轨迹一定通过△ABC的　　　　 （　　）

　　　 A．外心　　　　　　　　　 B．内心　　　　　　　　　 C．重心　　　　　　　　　 D．垂心

6．函数的反函数为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （　　）

　　　 A．　　　　　　　　　　 B．

　　　 C．　　　　　　　　　　 D．

7．棱长为a的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为　（　　）

　　　 A．　　　　　　　　　　B．　　　　　　　　　　C．　　　　　　　　　　D．

8．设曲线在点处切线的倾斜角的取值范

　 围为，则P到曲线对称轴距离的取值范围为　　　　　　　　　　　　　　 （　　）

　　　 A．[]　　　　　　　　B．　　　　　　　C．　　　　　 D．

9．已知方程的四个根组成一个首项为的等差数列，则

　 m－n=　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （　　）

　　　 A．1　　　　　　　　　　　　B．　　　　　　　　　　　C．　　　　　　　　　　　D．

10．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F（，0）直线y=x－1与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标为，则此双曲线的方程是　　　　　　　　　　　　　　　　　 （　　）

　　　 A．　　　B．　　　C．　　　D．

11．已知长方形四个顶点A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1）.一质点从AB的中点P₀沿与AB夹角为θ的方向射到BC上的点P₁后，依次反射到CD、DA和AB上的点P₂、P₃和P₄（入射角等于反射角）.设P₄的坐标为（x₄，0）.若1< x₄<2，则tanθ的取值范围是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

　　　 A．　　　　　　　　 B．　　　　　　　 C．　　　　　　　 D．

12．一个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为 （　　）

　　　 A．3π　　　　　　　　　　 B．4π　　　　　　　　　　 C． π　　　　　　 D．6π

第Ⅱ卷（非选择题　共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，把答案填在题中横线上.

13．展开式中x⁹的系数是　　　　　　　　  .

14．某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1200辆，6000辆和2000辆，为检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取

　　　　　　　　，　　　　 ，　　　　  辆.

15．某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分

（如图）.现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种

且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法

有　　　 种.（以数字作答）

16．对于四面体ABCD，给出下列四个命题

　　①若AB=AC，BD=CD，则BC⊥AD.　　　　 ②若AB=CD，AC=BD，则BC⊥AD.

　　　 ③若AB⊥AC，BD⊥CD，则BC⊥AD.　　　④若AB⊥CD，BD⊥AC，则BC⊥AD.

　　其中真命题的序号是　　　　　 .（写出所有真命题的序号）

三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17．（本小题满分12分）

　　有三种产品，合格率分别是0.90，0.95和0.95，各抽取一件进行检验.

　 （Ⅰ）求恰有一件不合格的概率；（Ⅱ）求至少有两件不合格的概率.（精确到0.001）

18．（本小题满分12分）

　　已知函数上R上的偶函数，其图象关于点对称，且在区间上是单调函数，求和ω的值.

19．（本小题满分12分）

　　如图，直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°，侧棱AA₁=2，D、E分别是CC₁与A₁B的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的垂心G.

　 （Ⅰ）求A₁B与平面ABD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；

　 （Ⅱ）求点A₁到平面AED的距离.

20．（本小题满分12分）

　　已知常数，向量经过原点O以为方向向量的直线与经过定点A（0，a）以为方向向量的直线相交于点P，其中试问：是否存在两个定点E、F，使得PE+PF为定值.若存在，求出E、F的坐标；若不存在，说明理由.

21．（本小题满分12分）

　　已知为正整数.

　 （Ⅰ）设；

　 （Ⅱ）设

22．（本小题满分14分）

设如图，已知直线及曲线C：，C上的点Q₁的横坐标为

　 （）.从C上的点Q_n（n≥1）作直线平行于x轴，交直线l于点，再从点作直线平行于y轴，交曲线C于点Q_n+1.Q_n（n=1，2，3，…）的横坐标构成数列

　 （Ⅰ）试求的关系，并求的通项公式；

　 （Ⅱ）当时，证明；

　 （Ⅲ）当a=1时，证明

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数  学　试　题答案

一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分60分.

1．C　2．B　3．D　4．D　5．B　6．B　7．C　8．B　9．C　10．D　11．C　 12．A

二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分.

13．　　　　14．6,30,10　　15．120　 16．①④

三、解答题

17．本小题要主考查相互独立事件概率的计算，运用数学知识解决问题的能力，满分12分.

解：设三种产品各抽取一件，抽到合格产品的事件分别为A、B和C.

（Ⅰ），　　　

因为事件A，B，C相互独立，恰有一件不合格的概率为

答：恰有一件不合格的概率为0.176.

解法一：至少有两件不合格的概率为

　

解法二：三件产品都合格的概率为

由（Ⅰ）知，恰有一件不合格的概率为0.176，所以至有两件不合格的概率为

答：至少有两件不合的概率为0.012.

（18）在小题主要考查三角函数的图象和单调性、奇偶性等基本知识，以及分析问题和推理计算能力，满12分分。

解：由

19．本小题主要考查线面关系和直棱柱等基础知识，同时考查空

间想象能力和推理运算能力. 满分12分.

解法一：（Ⅰ）解：连结BG，则BG是BE在面ABD的射影，即∠EBG是A₁B与平面ABD所成的角.

设F为AB中点，连结EF、FC，

（Ⅱ）连结A₁D，有

,　设A₁到平面AED的距离为h，

则　

解法二：（Ⅰ）连结BG，则BG是BE在面ABD的射影，即∠A₁BG是A₁B与平ABD所成的角.

如图所示建立坐标系，坐标原点为O，设CA=2a，

则A(2a,0,0),B(0,2a,0),D(0,0,1)

（Ⅱ）由（Ⅰ）有A(2,0,0)A₁(2,0,2),E(1,1,1),D(0,0,1)

（Ⅰ）当时，方程①是圆方程，故不存在合乎题意的定点E和F；

（Ⅱ）当时，方程①表示椭圆，焦点

（Ⅲ）当方程①也表示椭圆，焦点为合乎题意的两个定点.

（21）本小题主要考查导数、不等式证明等知识，考查综合运用所数学知识解决问题的能力，满分12分.

证明：（Ⅰ）因为，

所以

（Ⅱ）对函数求导数:

∴

　　　 　　 

即对任意

22．本小题主要考查二次函数、数列、不等式等基础知识，综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力，满分14分.

　 （Ⅰ）解：∵

∴　∴

，　　 ∴

　 （Ⅱ）证明：由a=1知　∵　∴

∵当　

∴

　 （Ⅲ）证明：由（Ⅰ）知，当a=1时，

因此

　　　　　　　　　　  =