高考数学普通高等学校招生全国统一考试13

高考数学普通高等学校招生全国统一考试13

数　学（文史类）

　　本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。第I卷1至2页。第II卷3至9页。共150分。考试时间120分钟。

第I卷（选择题　60分）

注意事项：

1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写

在答题卡上。

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需

改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上。

3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回。

参考公式：

三角函数的积化和差公式

正棱台、圆台的侧面积公式

其中、分别表示上、下底面周长，表示斜高或母线长

台体的体积公式

其中、分别表示上、下底面积，表示高

一、　　　　　 选择题：本大题共12小题；第每小题5分，共60分。在每小题给出的

四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）　  设集合A=，B=，则A∪B中的元素个数是

　　 （A）11　　　（B）11　　　 （C）16　　 （D）15

（2）　  在复平面内，把复数对应的向量按顺时针方向旋转，所得向量对应的复数是

（A）2　　（B）　 （C）　（D）3

（3）　  一个长方体共一项点的三个面的面积分别是，，，这个长方体

　　对角线的长是

（A）2　 （B）3　　（C）6　　 （D）

（4）已知，那么下列命题成立的是

（A）若、是第一象限角，则

（B）若、是第二象限角，则

（C）若、是第三象限角，则

（D）若、是第四象限角，则

（5）函数的部分图象是

（6）《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过

　　 800元的部分不必纳税，超过800元的部分为全月应纳税所得额。此项税

　　 款按下表分段累进计算：

全月应纳税所得额	税率
不超过500元的部分	5%
超过500元至2000元的部分	10%
超过2000元至5000元的部分	15%
…	…

某人一月份应交纳此项税款26.78元，则他的当月工资、薪金所得介于

（A）　 800~900元　 　　　　　（B）900~1200元

（C）1200~1500元　　　　　  （D）1500~2800元

（7）若，P=，Q=，R=，则

（A）RPQ　　　　　　  （B）PQ R　

（C）Q PR　　　　　　 （D）P RQ

（8）已知两条直线，，其中为实数。当这两条直线的夹

　　 角在内变动时，的取值范围是

　　 （A）　（B）　（C）∪　 （D）

（9）一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比

　　 是

　　 （A）　　  （B）　　  （C）　　  （D）

（10）过原点的直线与圆相切，若切点在第三象限，则该直

　　　线的方程是

（A）　 （B）　　（C）　　 （D）

（11）过抛物线的焦点F作一条直线交抛物线于P、Q两点，若线

　　　段PF与FQ的长分别是、，则等于

（A）　　 （B）　　 （C）　　 （D）

（12）如图，OA是圆锥底面中心O到母线的垂线，OA绕轴旋转一周所得曲

　　　面将圆锥分成体积相等的两部分，则母线与轴的夹角的余弦值为

（A）　　（B）　　　　　 

（C）　　（D）

普通高等学校招生全国统一考试

　　　　　　　 　 数　　学

　　　　　　　  　 第II卷（非选择题　90分）

注意事项：

1．第II卷共7页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中。

2．答卷前将密封线内的项目填写清楚。

二．填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分，把答案填在题中横

线上。

（13）乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名参加比赛。3名主力

　　　队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四

　　　位置，那么不同的出场安排共有_____种（用数字作答）。

（14）椭圆的焦点为、，点P为其上的动点，当为钝角

　　　时，点P横坐标的取值范围是________。

（15）设是首项为1的正项数列，且（=1，2，

　 　　3，…），则它的通项公式是=________。

（16）如图，E、F分别为正方体的面、面的中心，则四边形在该正方体的面上的射影可能是_______。（要求：把可能的图的　　 序号都填上）

三、解答题：本大题共6小题；共74分，解答应写出文字说明、证明过程或

　　演算步骤。

（17）（本小题满分12分）

　　 已知函数，。

（I）当函数取得最大值时，求自变量的集合；

（II）该函数的图象可由的图象经过怎样的平移和伸缩变换

得到？

（18）（本小题满分12分）

设为等差数列，为数列的前项和，已知，，为数列的前项和，求。

（19）（本小题满分12分）

　　如图，已知平行六面体ABCD-的底面ABCD是菱形，且=

。

（I）证明：⊥BD；

　　（II）当的值为多少时，能使平面？请给出证明。

（20）（本小题满分12分）

　　 设函数，其中。

（I）解不等式；

（II）证明：当时，函数在区间上是单调函数。

（21）（本小题满分12分）

　　 某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示。

（I）写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式P=；

　　　写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式Q=；

（II）　　 认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿收益最

大？

（注：市场售价和种植成本的单位：元/kg，时间单位：天）

（22）（本小题满分14分）

如图，已知梯形ABCD中，点E分有向线段所成的比为，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点。求双曲线的离心率。

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数学试题（文史类）参考解答及评分标准

说明：

一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解

法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则。

二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答

未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。

三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。

四、只给整数分数。选择题和填空题不给中间分。

一、选择题：本题考查基本知识和基本运算。每小题5分，满分60分。

（1）C　　 （2）B　　（3）D　　　（4）D　　 （5）D

　 （6）C　　 （7）B　　 （8）C　　　（9）A　　 （10）C

　 （11）C　　（12）D

 

二、填空题：本题考查基本知识和基本运算。每小题4分，满分16分。

（13）252　 （14）　　（15）　（16）②③

三、解答题

（17）本小题主要考查三角函数的图象和性质，考查利用三角公式进行恒等变形的技能以及运算能力。满分12分。

解：（I）

　　　　

　　　　 ，。　　　　　　　　　　 ——3分

取得最大值必须且只需

　　　　 ，，

　　　　 ，。

所以，当函数取得最大值时，自变量的集合为

　　　 。　　　　　　　　　　　　　  ——6分

（II）变换的步骤是：

（i） 把函数的图象向左平移，得到函数

　　　　　 的图象；　　　　　　　　　　　　 ——9分

（ii）　　　 令所得到的图象上各点横坐标不变，把纵坐标伸长到原来的2倍），得到函数

　　　　　 的图象；

　　经过这样的变换就得到函数的图象。　　　 ——12分

（18）本小题主要考查等差数列的基础知识和基本技能，运算能力。满分12分。

　　　解：设等差数列的公差为，则

　　　　　　　

　　 ∵　　　，，

　　 ∴　　 　　　　　　　　　　　　　　 ——6分

　　 即　　

　　 解得　　，。　　　　　　 　　　　　　　　——8分

　　 ∴　　 ，

　　 ∵　　 ，

　　

　　 ∴  数列是等差数列，其首项为，公差为，

　　 ∴  。　　　　　　　　　　　　　　  　 ——12分

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 

（19）本小题主要考查直线与直线、直线与平面的关系，逻辑推理能力。满分

　　　12分。

　　  （I）证明：连结、AC，AC和BD交于O，连结。

∵ 四边形ABCD是菱形，

∴ AC⊥BD，BC=CD。

又∵  ，

∴ ，

∴ ，

∵ DO=OB，

∴ BD，　　　　　　　　　　　　　　　　　　  ——3分

但 AC⊥BD，AC∩=O，

∴ BD⊥平面。

又 平面，

∴ BD。　　　　　　　　　　　　　　　　　　  ——6分

（II）当时，能使⊥平面。

证明一：

∵ ，

∴ BC=CD=，

又 ，

由此可推得BD=。

∴ 三棱锥C- 是正三棱锥。　　　　　　　　　　 ——9分

设与相交于G。

∵ ∥AC，且∶OC=2∶1，

∴ ∶GO=2∶1。

又 是正三角形的BD边上的高和中线，

∴ 点G是正三角形的中心，

∴ CG⊥平面。

即 ⊥平面。　　　　　　　　　　　　　 ——12分

证明二：

由（I）知，BD⊥平面，

∵ 平面，∴ BD⊥。　　　　　　　  ——9分

当 时 ，平行六面体的六个面是全等的菱形，

同BD⊥的证法可得⊥。

又 BD∩=B，

∴⊥平面。　　　　　　　　　　　　　　 ——12分  

　　

（20）本小题主要考查不等式的解法、函数的单调性等基本知识、分类讨论的

　　　数学思想方法和运算、推理能力。满分12分。

　解：（I）不等式即

　　　　　  ，

　由此得，即，其中常数。

　所以，原不等式等价于

　　　　　 　 

 即　　　　　　　　　　　　　　　——3分

 所以，当时，所给不等式的解集为；

　 当时，所给不等式的解集为。　　　　——6分

　（II）在区间上任取，，使得<。

　　　　 

　　　　　　　　　 

　　　　　　　　　 。　　　——9分

 ∵　　，且，

 ∴　　 ，

 又　 ，

 ∴　 ，

 即　 。

 所以，当时，函数在区间上是单调递减函数。 ——12分

（21）本小题主要考查函数图象建立的函数关系式和求函数最大值的问题，考查运用所学知识解决实际问题的能力。满分12分。

　　 解：（I）由图一可得市场售价与时间的函数关系为

　　　 　　　　　　　　　　　　——2分

　　 由图二可得种植成本与时间的函数关系为

　　　 ，　　　　　　　　 ——4分

（II）设时刻的纯收益为，则由题意得

　　　　　　 ，

 即　　　　　　　——6分

 当时，配方整理得

　　 ，

 所以，当=50时，取得区间上的最大值100；

当 时，配方整理得

　　，

所以，当时，取得区间上的最大值87.5；——10分

综上，由100>87.5可知，在区间上可以取最大值100，此时， ，即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ——12分

　　　

（22）本小题主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概念和性质，推

　　　理、运算能力和综合运用数学知识解决问题的能力。满分14分。

　 　 解：如图，以AB为垂直平分线为轴，直线AB为轴，建立直角坐标系，则CD⊥轴。

　　 因为双曲线经过点C、D，且以A、B为焦点，由双曲线的对称性知C、D关于轴对称。　　　　　　　　　　　　　　  　　　　　　 ——2分　　　　　　　　　 

依题意，记A，B，C，其中为双曲线的半焦距，，是梯形的高。

由定比分点坐标公式，得点E的坐标为

　　　　　　　 ，

　　　　　　　 。　　　　　　　　　　　　 ——5分

设双曲线的方程为，则离心率。

由点C、E在双曲线上，得

　　　　　　　  　　　　　　　　 ——10分　　　　　　　 

由①得，代入②得。

　

所以，离心率。　　　　　　　　　　　　　 ——14分