高考数学普通高等学校招生全国统一考试

高考数学普通高等学校招生全国统一考试

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至9页。共150分。考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题　共60分）

注意事项：

1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦

　 干净后，再选涂其它答案。不能答在试题卷上。

3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并交回。

正棱台、圆台的侧面积公式 其中、c分别表示上、下底面周长，l表示 斜高或母线长 球体的体积公式 其中R分别表示球的半径

参考公式：

三角函数的积化和差公式　　　 　　　　　　 

　　

　　

　　

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.

1．满足条件M∪{1}={1，2，3}的集合M的个数是

A．4　　　　　　　　　　　　B．3　　　　　　　　　　　　C．2　　　　　　　　　　　　D．1

2．在平面直角坐标系中，已知两点则AB的值是

　　　 A．　　　　　　　　　　　B．　　　　　　　　　　C．　　　　　　　　　　D．1

3．下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间（）上为减函数的是

　　　 A．　　　　　B．　　　 C．　　　　　D．

4．在下列四个正方体中，能得出AB⊥CD的是

　　　 A　　　　　　　　  B　　　　　　　　  C　　　　　　　　　  D

5．64个直径都为的球，记它们的体积之和为V_甲，表面积之和为S_甲；一个直径为a的球，

记其体积为V_乙，表面积为S_乙，则

　　　 A．V_甲＞V_乙且S_甲＞S_乙　　　　　　　　　　　　　　B．V_甲＜V_乙且S_甲＜S_乙

　　　 C．V_甲＝V_乙且S_甲＞S_乙　　　　　　　　　　　　　　D．V_甲＝V_乙且S_甲＝S_乙

6．若直线与直线的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的

　 取值范围

　　　 A．　　　　　　　B．　　　　　　　C．　　　　　　　D．

7．（1+i）⁸等于

　　　 A．16i　　　　　　　　　　　B．－16i　　　　　　　　　C．－16　　　　　　　　　 D．16

8．若，则的值为

　　　 A．　　　　　　　　　　　B．－　　　　　　　　　 C．　　　　　　　　 D．－

9．5本不同的书，全部分给四个学生，每个学生至少1本，不同分法的种数为

　　　 A．480　　　　　　　　　　 B．240　　　　　　　　　　 C．120　　　　　　　　　　 D．96

10．已知椭圆和双曲线有公共的焦点，那么双曲线的渐近线

方程是

A．　　　B．　　　C．　　　 D．

11．已知的定义在（0，3）上的函数，的图象如图所示，那么不等式

的解集是

A．（0，1）∪（2，3）　　B．

C．　　　　 D．

12．如图所示，是定义在[0，1]上的四个函数，其中满足性质：“对

[0，1]中任意的x₁和x₂，恒成立”的只有

A．　　　B．　　　　　　　　C．　　　D．

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

注意事项：

1．第Ⅱ卷共7页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中。

2．答卷前将密封线内的项目填写清楚。

题 号	二	三						总 分
		17	18	19	20	21	22
分 数

　　　　　 

　　　 　　　　 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横

线上.

13．从小到大的顺序是　　　　　　　　　　  .

14．等差数列{a_n}中，a₁=2，公差不为零，且a₁，a₃，a₁₁恰好是某等比数列的前三项，那么

该等比数列公比的值等于　　　　　  .

15．关于直角AOB在定平面α内的射影有如下判断：①可能是0°的角；②可能是锐角；③

可能是直角；④可能是钝角；⑤可能是180°的角.其中正确判断的序号是　　　　　 

（注：把你认为是正确判断的序号都填上）.

16．圆的动点Q到直线距离的最小值为　　　　.

三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

　　　　　　　 17．（本小题满分12分）

解不等式.

　　　　　　　  18．（本小题满分12分）

如图，在多面体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，上、下底面平行且均为矩形，相对的侧面与同一底面所成的二面角大小相等，上、下底面矩形的长、宽分别为c，d与a，b且a＞c，b＞d，两底面间的距离为h..

　 （Ⅰ）求侧面ABB₁A₁与底面ABCD所成二面角正切值；

　 （Ⅱ）在估测该多面体的体积时，经常运用近似公式

 V_估=S_中截面·h来计算.已知它的体积公式是

 （S_上底面+4S_中截面+S_下底面），

试判断V_估与V的大小关系，并加以证明.

　 （注：与两个底面平行，且到两个底面距离相等的截面称为该多面体的中截面.）

19．（本小题满分12分）

数列{x_n}由下列条件确定：

　 （Ⅰ）证明：对n≥2，总有；

　 （Ⅱ）证明：对n≥2，总有；

　

20．（本小题满分12分）

在研究并行计算的基本算法时，有以下简单模型问题：

用计算机求n个不同的数的和.计算开始前，n个数存贮在n台由网络连接的计算机中，每台机器存一个数，计算开始后，在一个单位时间内，每台机器至多到一台其他机器中读数据，并与自己原有数据相加得到新的数据，各台机器可同时完成上述工作.

为了用尽可能少的单位时间，使各台机器都得到这n个数的和，需要设计一种读和加的方法.比如n=2时，一个单位时间即可完成计算，方法可用下表表示：

机器号	初始时	第一单位时间		第二单位时间		第三单位时间
		被读机号	结　果	被读机号	结　果	被读机号	结　果
1	v1	2	v1+ v2
2	v2	1	v2+v1

（Ⅰ）当n=4时，至少需要多少个单位时间可完成计算？

把你设计的方法填入下表

机器号	初始时	第一单位时间		第二单位时间		第三单位时间
		被读机号	结　果	被读机号	结　果	被读机号	结　果
1	v1
2	v2
3	v3
4	v4

（Ⅱ）当n=128时，要使所有机器都得到，至少需要多少个单位时间可完成计算？（结论不要求证明）

　　　　　　　　 21．（本小题满分13分）

已知O（0，0），B（1，0），C（b，c）是△OBC的三个顶点.

　 （Ⅰ）写出△OBC的重心G，外心F，垂心H的坐标，并证明G，F，H三点共线；

　 （Ⅱ）当直线FH与OB平行时，求顶点C的轨迹.

22．（本小题满分13分）

已知是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的a，b∈R都满足：

.

　 （Ⅰ）求f（0），f（1）的值；

　 （Ⅱ）判断的奇偶性，并证明你的结论；

　 （Ⅲ）若，求证.

数学试题（文史类）（北京卷）参考解答

说明：

一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.

二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.

三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.

四、只给整数分数.选择题和填空题不给中间分.

一、选择题：本题考查基本知识和基本运算.每小题5分，满分60分.

1.C　2.D　3.B  4.A　5.C　6.B  7.D　8.A　9.B  10.D　11.C　12.A

二、填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题4分，满分16分.

13．　　14．4　　 15．①②③④⑤　　16．2

三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17．本小题主要考查不等式的解法等基本知识，考查运算能力和逻辑思维能力.满分12分.

解：

.所以，原不等式组的解集为 .

18．本小题主要考查直线、平面的位置关系，考查不等式的基本知识，考查空间想象能力和

逻辑推理能力. 满分12分.

　 （1）解：过B₁C₁作底面ABCD的垂直平面，交底面于

PQ,过B₁作B₁G⊥PQ,垂足为G.∵平面ABCD∥平

面A₁B₁C₁D₁，∠A₁B₁C₁=90°，∴AB⊥PQ，AB⊥

B₁P. ∴∠B₁PG为所求二面角的平面角.过C₁作

C₁H⊥PQ，垂足为H.由于相对侧面与底面所成二

面角的大小相等，故四边形B₁PQC₁为等腰梯形.

，即所求二面角的正切值为.

　 （Ⅲ）V_估＜V.证明： ∵a＞c，b＞d，∴

　　　　 ∴V_估＜V.

19．本小题主要考查数列、数列极限、不等式等基本知识，考查逻辑思维能力. 满分12分.

　 （Ⅰ）证明：由，可归纳证明（没有证明过程不扣分）.

　　　　从而有，所以，当n≥2时，成立.

　 （Ⅱ）证法一：当n≥2时，因为，所以

 ，故当n≥2时，成立.

 证法二：当n≥2时，因为，所以

 ，故当n≥2时，成立.

20．本小题主要考查运用数学思想方法，分析和解决科学问题的能力.满分12分.

　 （Ⅰ）解：当n=4时，只用2个单位时间即可完成计算.

方法之一如下：

机器号	初始时	第一单位时间		第二单位时间		第三单位时间
		被读机号	结 果	被读机号	结　果	被读机号	结　果
1	v1	2	v1+ v2	3	v1+ v2+ v3+ v4
2	v2	1	v2+v1	4	v2+ v1+ v4+ v3
3	v3	4	v3+ v4	1	v3+ v4+ v1+ v2
4	v4	3	v4+ v3	2	v4+ v3+ v2+ v1

　 （Ⅱ）解：当n=128=2⁷时，至少需要7个单位时间才能完成计算.

21．本小题主要考查直线与椭圆等基本知识，考查分析问题和解决问题的能力. 满分13分.

　 （Ⅰ）解：由△OBC三顶点坐标O（0，0），B（1，0），C（b，c）（c≠0），可求得

　　　　 重心，外心F，垂心.当时，

　　　　 G，F，H三点的横坐标均为，故三点共线；当时，设G,H所在直线的斜

 率为，F，G所在直线的斜率为.因为，

 ，所以，G，F，H三点共线.

 综上可得，G，F，H三点共线.

　 （Ⅱ）解：若FH//OB，由，得，

　　 　　配方得，即.

 因此，顶点C的轨迹是中心在（，0），长半轴长为，短半轴长为，且短

 轴在x轴上的椭圆，除去（0，0），（1，0），（，），（，－）四点.

22．本小题主要考查函数与数列等基本知识，考查分析问题和解决问题的能力. 满分13分.

　 （Ⅰ）解：. 因为，

　　　　所以

　 （Ⅱ）是奇函数.　证明：因为，

　　　　 因此，为奇函数.

　 （Ⅲ）证明：先用数学归纳法证明

　　　　（1）当n=1时，；

　　　　（2）假设当n=k时，那么当n=k+1时，

.

由以上两步可知，对任意.因为

所以