数学奥林匹克高中训练题（05）
第一试
一、选择题（本题满分42分，每小题7分）
1．(训练题10)
为锐角，且
，则（D）．
(A) 
在定义域内是增函数 (B) 在
内为增函数，在
内为减函数
(C) 在定义域内是减函数 (D) 在内为增函数，在内为减函数
2．(训练题10) 设
为非负实数，
为正实数，且
．则
的最小值是（C）
(A) 1 (B) 
(C)
(D)
3．(训练题10) 设
．则
的大小关系是（D）
(A)
(B) 
(C) 
(D) 
4．(训练题10) 三棱锥
中，
，则三棱锥体积是（A）
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 其他
5．(训练题10) 八个数字1，1，2，2，3，3，4，4可以组成不同的四位数个数是（A）
(A) 204 (B) 144 (C) 72 (D) 24
6．(训练题10) 方程
的整数解
有（B）
(A) 0组 (B) 1组 (C) 有限组(多于1组) (D) 无穷多组
二、填空题（本题满分48分，每小题8分）
1．(训练题10) 已知
．则
的最小值是___
___．
2．(训练题10) 将数列2，6，10，14，…按顺序分组，第一组2项（2，6），第二组6项（10，14，…，30），…第
组有
项，则1994属于第 16
组.
3．(训练题10) 
的面积为
，
，直线
分的面积为相等的两部分，且
在
上，
在
上，则的最短长度为 
.
4．(训练题10)设
，使不等式
恒成立的实数
取值范围是_
_.
5．(训练题10) 对不同的实数，方程
表示不同的抛物线，一条直线与这所有的抛物线都相交，且截得的弦长均为
．则这条直线的方程是___
___.
6．(训练题10) 若复数
满足
．则
．
第二试
一、(训练题10)（本题满分20分）设
．求证：对一切
，
为奇数（
表示不超过
的最大整数）．
二、(训练题10)（本题满分20分）在自然数1，2，3，…，n,…中去掉所有含数字0，7，8，9的那些自然数，得数列{an}：1，2，3，4，5，6，11，12，…，16，21，22，…．求证：
．
三、(训练题10)（本题满分30分）在中，
，点在上,且
，点在上，且
．求
的度数．(
)
四、(训练题10)（本题满分30分）平面上给定1994个点，其中任何三点不共线，将以这些点为端点的每条线段都标上+1或-1，如果以这些点为顶点的三角形三边所标的数乘积为-1，称三角形为负的．试证明负三角形个数为偶数．