数学奥林匹克高中训练题（06）
第一试
一、选择题（本题满分30分，每小题5分）
1．(训练题11)若
，则实数集
与
具有的关系是(D)．
(A) 
(B)
(C)
(D)
2．(训练题11)方程
的图象是(C)．
3．(训练题11)在
中，
是
的(C)．
(A) 充分但不必要条件 (B) 必要但不充分条件 (C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要的条件
4．(训练题11)圆台两底面半径分别为
和
，平行底面的截面将圆台的侧面分成面积相等的两部分．那么，截面圆半径是(B)．
(A) 
(B) 
(C)
(D) 无法确定
5．(训练题11)等差数列
中，
，公差
，前
项和是
．则有(C)．
(A)
(B)
(C)
(D)
6．(训练题11)过抛物线y2=4x的焦点作直线与此抛物线交于P，Q两点。那么，线段PQ中点的轨迹方程是(B)．
(A)
(B)
(C)
(D)
二、填空题（本题满分30分，每小题5分）
1．(训练题11)已知函数
则它的反函数是
．
2．(训练题11)已知复数
的模
且，
，则
．
3．(训练题11)某市电话号码从六位升至七位，这一改可增加
个拨号．
4．(训练题11)
的值是 
．
5．(训练题11)平面
内有圆
(如图)
是直径，
，
是
上一点．若
，则二面角
的平面角的余弦值是 
．
6．(训练题11)
顶点在以
轴为对称轴，原点为焦点的抛物线上，已知
，且的重心在原点，则过B，C两点的直线方程为
．
三、(训练题11)(本题满分20分) 如图，四棱锥
的顶点在底面的射影恰是底面对角线的交点
，已知棱锥的高恒为3，
．问当四棱锥取得最小体积时，底面
是怎样的四边形？
四、(训练题11) (本题满分20分) 抛物线
的焦点是
．问：是否存在内接等腰直角三角形，该三角形的一条直角边过点？如果存在，存在几个？如果不存在，说明理由
五、(训练题11)(本题满分20分)数列的首项
，该数列是公比为
的等比数列．记
，
．
(1) 证明: 当
时，对一切
，都有
．
(2) 当
时，是否存在自燃数
，使得对任何自然数，都有
．
第二试
一、(训练题11)(本题满分35分)
为的垂心，
分别是
中点，一个以为圆心的
交直线
于
．求证：
．
二、(训练题11)(本题满分35分)若是素数，证明存在
的一个排列
，使得
被n除的余数各不相同．
三、(训练题11)(本题满分35分)某组学生进行一次考试，共有3道选择题，每题有四个选择支．已知这组学生中任何两人的答案都至多有一题相同，而且只要再加一人，则无论该人答案如何，上述性质都不再成立．问这组学生最少有多少人？