高三联考数学试题
数学试题（文科）
一：选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1． P={1，2，3，4，5},Q={3，4，5，6，7，8},定义P※Q={(a，b)a∈P，b∈Q}
则P※Q中元素的个数为 ( ) 。
（A）4 （B）5 （C）30 （D）120
2．函数
, 如果方程
有且只有一个实根，那么实数
应满( ) (A) 
(B) 
(C) 
(D) 
3．已知直线y=kx+1与曲线y=x3+ax+b切于点(1，3)，则b的值为………（ ）
（A）3 （B）－3 （C）5 （D）－5
4. 已知i, j为互相垂直的单位向量，a = i – 2j, b =
i + λj，且a与b的夹角为锐角，则实
的取值范围是（
）。
(A) 
(B) 
(C) 
(D)
5. 等比数列{an}中，已知 a1+a2+a3+a4=10, a5+a6+a7+a8=－5,
则数列{an}的前16项和S16为 ( )。.
（A）.－50 （B）.
（C）.
（D）.－
6．宁远一中高三文科一班学生开展研究性学习活动，他们从水市水库中打一网鱼共200kg, 做上记号再放回水库中, 数天后再打一网鱼共有300kg, 其中有5kg有记号, 则能估计水市水库中有鱼 ( )吨。
(A) 12 (B) 10/3 (C) 12/41 (D) 7.5
7. 设甲、乙两地的距离为a (a>0)，小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又以匀速从乙地返回甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数的图象为 ( )
( A ) ( B ) ( C ) ( D ) .
8．已知直线l1的方程为y=x，直线l2的方程为y=ax+b(a,b为实数)，当直线l1与l2
夹角的范围为［0,
时，a的取值范围是 ( )
A. (
,1)∪(1,
) B.(,)
C. (0，1) D.(1,)
9.如图①是一个正三棱柱形容器，底面边长为a,高为2a,内装水若干.将容器放倒，把一个侧面作为底面，如图②，这时水面恰好为中截面.请问图①中容器内水面的高度是( )。
图① 图②
(A) a （B）
a (C) 
a (D) a
10. 命题P：如果x2+2x+1－a2<0,那么－1+a<x<－1－a. 命题Q：a<1.那么，
Q是P的 （ ）。
（A）必要不充分条件 （B）.充分不必要条件
（C 充要条件 （D）.既不充分也不必要条件
11.
若f(x)是偶函数，且当x∈［0,+∞时，f(x)=x－1,则不等式f(x－1)>1的解集是( )
（A）.{x－1<x<3} （B）.{xx<－1,或x>3}
（C）.{xx>2} （D）.{xx>3}
12.将函数y=cos2x的图象F按向量a=（－
）平移到L，则L的解析式是（ ）
A.y=cos（2x+
）+
B.y=cos（2x－）+
C.y=cos（2x+
）+ D.y=cos（2x－）+
（请将选择题的答案填在下面的表內）
| 题 号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| 答 案 |
二、填空题：(共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中的横线上).
13.已知M为△ABC边AB上一点，且△AMC的面积是△ABC面积的
，则B分
所成的比为______.
14．甲射击命中目标的概率是
，乙射击命中目标的概率是
，丙射击命中目标的概率是
，现在三人同时射击目标，则目标被击中的概率为______.
15．已知数列
满足：
，则使
成立的
的值是 ．
16．永州电视台为某个广告公司特约播放赵本山的两个小品。其中小品甲播映时间为20分钟，广告时间为1分钟，收视观众为60万，小品乙播映时间为10分钟，广告时间为1分钟，收视观众为20万。广告公司规定每周至少有6分钟广告，而电视台每周只能为该公司提供不多于86分钟的节目时间。为获得最高的收视率，电视台每周应播映小品甲 次， 小品乙 次。
三、解答题：（本大题共6小题，共74分）
17.(本小题满分12分)
已知函数f(x)=2cos2x+sin2x+a.若x∈［0,
］，且f(x)<2,求实数a的取值范围.
18．（本小题满分12分）
如图，直三棱柱ABC－A1B1C1，底面△ABC中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA1=2，M、N分别是A1B1、A1A的中点.
（1）求BN的长；
（2）求直线BA1与CB1所成角的余弦值
（3）求证:A1B⊥C1M.
19（本小题满分12分）
新田一中高三文科一班学生开展研究性学习活动，他们在学校大门口观察发现：有A、B、C三辆公汽按A、B、C顺序依次连续不断在校门口载客；候车人中大约有三分之一是学生。公汽公司为鼓励学生乘车，每月给第一个乘坐公汽的学生免收一个月的乘车费。你认为乘坐哪一辆公汽最有可能免收一个月的乘车费？并说明理由。
20．（本小题满分12分）
已知，设 
，
试寻求使得
都成立的
的集合．
21.（本小题满分12分）如图，点F（a，0）（a>0），点P在y轴上运动，M在x轴上，N为动点，且
0.
（1）求点N的轨迹C的方程；
（2）过点F（a，0）的直线l（不与x轴垂直）与曲线C交于A、B两点，设点
K（－a，0），
与
的夹角为θ ，
求证0<θ <
.
22.（本小题满分14分）
如图所示，曲线段OMB是函数f(x)=x2(0＜x＜6)的图象，BA⊥x轴于A，曲线段OMB上一点M（t,f(t)）处的切线PQ交x轴于点P，交线段AB于点Q，
（1）试用t表示切线PQ的方程；
（2）试用t表示出△QAP的面积g(t);若函数g(t)在（m,n）上单调递减，试求出m的最小值；
（3）若S△QAP∈［
,64］，试求出点P横坐标的取值围。 .
高三联考
数学试题（文科）及参考答案
一：选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
2． P={1，2，3，4，5},Q={3，4，5，6，7，8},定义P※Q={(a，b)a∈P，b∈Q}
则P※Q中元素的个数为 ( ) 。
（A）4 （B）5 （C）30 （D）120
解：5X6=30 选C
2．函数, 如果方程有且只有一个实根，那么实数应满( ) (A) (B) (C) (D)
解：选C
 |
3．已知直线y=kx+1与曲线y=x3+ax+b切于点(1，3)，则b的值为………（ ）
（A）3 （B）－3 （C）5 （D）－5
解：把（1，3）代入y=kx+1得k=2 由f /
(1)=2 (3x2+a) x=1=2 3x12+a=2
a=-1 f(1)=3 1+a+b=3 b=3 故选A
4. 已知i, j为互相垂直的单位向量，a = i – 2j, b =
i + λj，且a与b的夹角为锐角，则实的取值范围是（
）。
(A) (B)
(C) (D)
解：a*b=( i – 2j )*( i + λj ) =i2-2λj2+(λ-2) i*j
=1-2λ>0 λ<1/2 但不等于-2 故选B
5. 等比数列{an}中，已知 a1+a2+a3+a4=10, a5+a6+a7+a8=－5,
则数列{an}的前16项和S16为 ( )。.
（A）.－50 （B）.
（C）.
（D）.－
解：等比数列每连续四项的和也成等比数列，即已知b1=10 q= -1/2
求{bn}的前四项的和T4=？故选B
6．宁远一中高三文科一班学生开展研究性学习活动，他们从水市水库中打一网鱼共200kg, 做上记号再放回水库中, 数天后再打一网鱼共有300kg, 其中有5kg有记号, 则能估计水市水库中有鱼 ( )吨。
(A) 12 (B) 10/3 (C) 12/41 (D) 7.5
解：5：300=200：x 选A
7. 设甲、乙两地的距离为a (a>0)，小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又以匀速从乙地返回甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数的图象为 ( )
( A ) ( B ) ( C ) ( D ) .
解：选D
8．已知直线l1的方程为y=x，直线l2的方程为y=ax+b(a,b为实数)，当直线l1与l2
夹角的范围为［0,时，a的取值范围是 ( )
A. (,1)∪(1,) B.(,)
C. (0，1) D.(1,)
解：tan=2- 
选B
9.如图①是一个正三棱柱形容器，底面边长为a,高为2a,内装水若干.将容器放倒，把一个侧面作为底面，如图②，这时水面恰好为中截面.请问图①中容器内水面的高度是( )。
图① 图②
(A) a （B） a (C) a (D) a
解：
故选C
10. 命题P：如果x2+2x+1－a2<0,那么－1+a<x<－1－a. 命题Q：a<1.那么，
Q是P的 （ ）。
（A）必要不充分条件 （B）.充分不必要条件
（C 充要条件 （D）.既不充分也不必要条件
解：x2+2x+1－a2<0 (x+1)2<a2 与－1+a<x<－1－a.比较知.
命题P：a≤0 命题Q：a<1 命题Q：a<1 命题P：a≤0
故选A
11.
若f(x)是偶函数，且当x∈［0,+∞时，f(x)=x－1,则不等式f(x－1)>1的解集是( )
（A）.{x－1<x<3} （B）.{xx<－1,或x>3}
（C）.{xx>2} （D）.{xx>3}
12.将函数y=cos2x的图象F按向量a=（－）平移到L，则L的解析式是（ ）
A.y=cos（2x+）+ B.y=cos（2x－）+
C.y=cos（2x+）+ D.y=cos（2x－）+
解：点移加，线移减 y-1/2=cos2[x-(－)]
y=cos（2x+）+
故选A
（请将选择题的答案填在下面的表內）
| 题 号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| 答 案 | C | C | A | B | B | A | D | B | C | A | B | A |
二、填空题：(共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中的横线上).
13.已知M为△ABC边AB上一点，且△AMC的面积是△ABC面积的，则B分所成的比为______ -
8/7 C
A 1 M 7 B
14．甲射击命中目标的概率是，乙射击命中目标的概率是，丙射击命中目标的概率是，现在三人同时射击目标，则目标被击中的概率为______. 0.75
解：
15．已知数列满足：，则使成立的的值是 ． 21
解：
16．永州电视台为某个广告公司特约播放赵本山的两个小品。其中小品甲播映时间为20分钟，广告时间为1分钟，收视观众为60万，小品乙播映时间为10分钟，广告时间为1分钟，收视观众为20万。广告公司规定每周至少有6分钟广告，而电视台每周只能为该公司提供不多于86分钟的节目时间。为获得最高的收视率，电视台每周应播映小品甲 次， 小品乙 次。 2，4。
．设小品甲播映x次，小品乙播映y次. 则有
要使收视率最高，则只要z=60x+20y最大即可，由右图可知，当x=2，y=4时，z=60x+20y取得最大值200万.
故电视台每周小品甲和小品乙各播映4集和2集，其收视率最高.
 |
三、解答题：（本大题共6小题，共74分）
17.(本小题满分12分)
已知函数f(x)=2cos2x+sin2x+a.若x∈［0,］，且f(x)<2,求实数a的取值范围.
解：f(x)=cos2x+sin2x+a+1=2sin(2x+
)+a+1. 3分
∵0≤x≤,∴≤2x+≤
, 5分
∴a≤f(x)≤a+3. 7分
又f(x)<2,∴［a,a+3］
(－2,2) 9分
于是
,解出－2<a<－1. 12分
18．（本小题满分12分）
如图，直三棱柱ABC－A1B1C1，底面△ABC中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA1=2，M、N分别是A1B1、A1A的中点.
（1）求BN的长；
（2）求直线BA1与CB1所成角的余弦值
（3）求证:A1B⊥C1M.
解：解法一：（传统解法略写）
解法二：
（1）以C为原点CA所在直线为x轴，CB所在直线为y轴，CC1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系O－xyz. 2分
则B(0，1，0)，N (1,0,1)，
可求得
=； 4分
（2）由A1（1，0，2）、B(0，1，0)、C(0，0，0)、B1(0，1，2)，
得
=（1，－1，2），
=（0，1，2）， 6分
从而得cos<
>=
； 8分
（3）又C1(0，0，2)、M(0.5，0.5，2),
得
=（－1，1，－2），
=（0.5，0.5，0） 10分
所以·=－0.5+0.5+0=0,
所以⊥.
12分
19（本小题满分12分）
新田一中高三文科一班学生开展研究性学习活动，他们在学校大门口观察发现：有A、B、C三辆公汽按A、B、C顺序依次连续不断在校门口载客；候车人中大约有三分之一是学生。公汽公司为鼓励学生乘车，每月给第一个乘坐公汽的学生免收一个月的乘车费。你认为乘坐哪一辆公汽最有可能免收一个月的乘车费？并说明理由。
解：A辆公汽乘运第一个学生的概率：
6分
B辆公汽乘运第一个学生的概率：
P2=（
）·（）+（）4·（）+（）7·（）+…
=
； 9分
C辆公汽乘运第一个学生的概率：
P3=1－
P1>P2>P3
故乘坐A辆公汽最有可能免收一个月的乘车费
12分
20．（本小题满分12分）
已知，设 ，
试寻求使得都成立的的集合．
解：由题意得：
4分
若
：则有
，而
，所以
，
故
；
8分
若
：则有
；
10分
若
：则有
，故
． 12分
21．（本小题满分12分）如图，点F（a，0）（a>0），点P在y轴上运动，M在x轴
上，N为动点，且0.
（1）求点N的轨迹C的方程；
（2）过点F（a，0）的直线l（不与x轴垂直）与曲线C交于A、B两点，设点
K（－a，0），与的夹角为θ ，
求证0<θ <.
解：.（1）设N（x，y）
由
=0，即P是MN的中点，∴M（－x，0），P（0，
），
2分
∵
=0，∴PM⊥PF，
4分
∴
=－1， ∴y2=4ax即为所求.
6分
（2）设l的方程为y=k（x－a），
由
消去x，得y2－
y－4a2=0，
8分
设A（x1，y1），B（x2，y2）， 则y1y2=－4a2，
9分
=（x1+a，y1），=（x2+a，y2）
10分
·=（x1+a）（x2+a）+y1y2=x1x2+a（x1+x2）+a2+y1y2
=
+a2－4a2 =
（y12+y22）－2a2>（2y1y2）－2a2
=
×4a2－2a2=0， ∴cosθ=
>0，∴0<θ<. 12分
22.（本小题满分14分）
如图所示，曲线段OMB是函数f(x)=x2(0＜x＜6)的图象，BA⊥x轴于A，曲线段OMB上一点M（t,f(t)）处的切线PQ交x轴于点P，交线段AB于点Q，
（1）试用t表示切线PQ的方程；
（2）试用t表示出△QAP的面积g(t);若函数g(t)在（m,n）上单调递减，试求出m的最小值；
（3）若S△QAP∈［,64］，试求出点P横坐标的取值围。 .
解：（1）设点M（t,t2）,又f′(x)=2x,
∴过点M的切线PQ的斜率为k=2t, 2分
∴切线PQ的方程为y－t2=2t(x－t),
即y=2tx－t2. 4分
（2）由（1）可求得P(
,0), Q(6,12t－t2)
∴g(t)=S△QAP=
(6－t)(12t－t2)
=
t3－6t2+36t,(0＜t＜
, 6分
由于g′(t)=
t2－12t+36,
令g′(t)＜0,则4＜t＜12,
又0＜t＜6,∴4＜t＜6,
∴g(t)的单调递减区间为（4，6），
因此m的最小值为4. 9分
（3）由（2）得，g(t)在（4，6）上递减，
∴此时S△QAP∈(g(6),g(4))=(54,64),
令g′(t)＞0,得0＜t＜4,
∴g(t)在（0，4）上递增.
∴此时S△QAP∈(g(0),g(4))=(0,64),
又g(4)=64,
∴函数g(t)的值域为(0,
.
12分
由≤g(t)≤64,得1≤t＜6,
∴≤＜3,
∴点P的横坐标∈［,
. 14分