高三年级第二次质量检测数学试题
（理科）
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分.考试时间120分钟.
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其中R表示球的半径
如果事件A、B互斥，那么
P（A+B）=P（A）+P（B）
如果事件A、B相互独立，那么
P（A·B）=P（A）·P（B）
第I卷
一、选择题：本大题共12小题；每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中， 只有
一项是符合题目要求的.
1．已知函数
，则集合
中含
有元素的个数为 （ ）
A．0 B．1或0 C．1 D．1或2
2．如果复数
（其中
为虚数单位，
为实数）的实部和虚部是互为相反数，那么等
于 （ ）
A．
B．
C．2 D．－
3．如果平面
平面
，且交线为
的 （ ）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．即不充分又不必要条件
4．已知函数
是定义在R上的奇函数，当
，那么
的值为
（ ）
A．2 B．－2 C．3 D．－3
5．若抛物线
上三点的横坐标的平方成等差数列，那么这三点到焦点的距离
为 （ ）
A．成等差数列 B．成等比数列
C．不成等差也不成等比数列 D．成常数列
6．在空间四边形ABCD中，连结AC、BD若△BCD是正三角形，且E为其中心，则
的化简结果是 （ ）
A．
B．2
C．
D．
7．
的值等于 （ ）
A．
B．－ C．
D．－
8．如果一个三位正整数形如“
”满足
，则称这样的三位数为凸数
（如120、363、374等），那么所有凸数个数为 （ ）
A．240 B．204 C．729 D．920
9．设F1、F2是双曲线
的两个焦点，P在双曲线上，若
为半焦距）则双曲线的离心率为 （ ）
A．
B．
C．2 D．
10．已知
的值为 （ ）
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11．一个正方体纸盒展开后如图，在原正方体纸盒中有下列
结论①AB⊥EF ②AB与CM成60° ③EF与MN
是异面直线 ④MN//CD
其中正确的是 （ ）
A．①② B．③④
C．②③ D．①③
12．北京市为成功举办2008年奥运会，决定从2003年到2007年5年间更新市内现有全
部出租车，若每年更新的车辆数比前一年递增10%，则2003年底更新车辆数约为现有
总车辆数的（参考数据1.14=1.46 1.15=1.61） （ ）
A．10% B．16.4% C．16.8% D．20%
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分 . 把答案填在题中横线上.
13．已知A（－4，0），B（2，0）以AB为直径的圆与
轴的负半轴交于C，则过C点的圆
的切线方程为 .
14．关于
的方程
的两根分别在区间（0，1）与（1，2）内.则
的
取值范围是 .
15．自半径为R的球面上一点P引球的两两垂直的弦PA、PB、PC，则PA2+PB2+PC2
= .
16．定义运算“*”对于
满足以下运算性质：①1
1=1 ②（n+1）1=3（n1）则
的表达式为
.
三、解答题：本大题6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分12分）
已知：甲盒子内有3个正品元件和4个次品元件，乙盒子内有5个正品元件和4个次品元件，现从两个盒子内各取出2个元件，试求
（Ⅰ）取得的4个元件均为正品的概率；
（Ⅱ）取得正品元件个数
的数学期望.
(参考数据：4个元件中有两个正品的概率为
，三个正品的概率为
)
18．（本小题满分12分）
已知：
为常数）
（1）若
，求的最小正周期；
（2）若在[
上最大值与最小值之和为3，求
的值；
（3）在（2）条件下先按
平移后再经过伸缩变换后得到
求.
19．（本小题满分12分）
在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中
（Ⅰ）P、Q分别是B1D1、A1B上的点且B1P=
B1D1，BQ=A1B （如图1）.
求证PQ//平面AA1D1D；
（Ⅱ）M、N分别是A1B1、BB1的中点（如图2）求直线AM与CN所成的角；
（Ⅲ）E、F分别是AB、BC的中点（如图3），试问在棱DD1上能否找到一点H，使BH⊥
平面B1EF？若能，试确定点H的位置，若不能，请说明理由.
|
20．（本小题满分12分）
函数
)
（1）已知的展开式中
的系数为
，求常数
（2）是否存在的值，使在定义域中取任意值时，
恒成立？如存在，求出的
值，如不存在，说明理由.
21．（本小题满分12分）
一椭圆中心在原点，右焦点为F（2，0），离心率为
，A为椭圆最大的内接矩形在第一象限的顶点，内接矩形的边平行椭圆对称轴.
（1）求A点坐标；
（2）过F的弦
作平行四边形
求点P的轨迹方程；
（3）
是不是矩形，如果是，写出相应的直线的方程，如果不是，说明理由.
22．（本小题满分14分）
若Sn和Tn分别表示数列{
和
的前
项和，对任意正整数
Tn－3Sn=4.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）在平面直角坐标系内，直线
的斜率为
.且与曲线
有且仅一个交点，与
轴交于Dn，记
求
；
（Ⅲ）若
高三年级第二次质量检测
数学试题（理科）参考答案
一、选择题：1—5 BDBAA 6—10 CCABB 11—12 DB
二、填空题：13．
14．
15．4R2 16．3n－1
三、解答题：17．解：（I）从甲盒中取两个正品的概率为P（A）=
……2分
从乙盒中取两个正品的概率为P（B）=
……4分
∵A与B是独立事件 ∴P（A·B）=P（A）·P（B）=
……6分
（II）的分布列为
|
| 0 | 1 | 2 | 3 |
| ||
| P |
|
|
|
|
|
……12分
18．解：
……2分
（1）最小正周期
……4分
（2）
……6分
|
……8分
（3）
……10分
……12分
19．解：（I）解法一：在A1D1上取点P1，AA1上取点Q，使A1P1=
A1D1，
AQ1=AA1，由已知B1P：PD=A1P1：P1D1=1：2
∴PP1//A1B1 且PP1=
AB……2分 在平面AA1B1B中同理可证1//AB，
|
AB ∴PP1 ∥1 ∴PQ//P1Q1
又P1Q1
平面AA1D1D
∴PQ//平面
AA1D1D……4分
解法二：以D为原点，如衅建立空间直角坐标系，则下列各点的坐标为：
D1（0，0，1） B1（1，1，1） A1（1，0，1） B（1，1，0）
由已知P
……2分
在A1D1，AA1上取点P1，Q1 ：A1P1：A1D1=1：3 AQ1：AA1=1：3则由定比分点公式得
P1（
Q1（1，0，） 
∴PQ//平面AA1D1D……4分
（II）解法一 取AB中点
，CC1中点
连B、、B，则AM//B
CN//B1 ∴∠B即为AM与CN所成的角.……6分
在△B中，B=B=
由余弦定理得
，∴AM与CN所成的角为
……8分
解法二 以D为原点如图建立空间直角坐标系，下列各点坐标为A（1，0，0）
M（1，
N（1，1，） C（0，1，0） 
……6分
∴AM与CN所成角为……8分
（Ⅲ）解法一 能找到点H ∵H∈DD1 ∴BH的射影为BD则BH⊥EF，恒成立，若BH⊥平
面BEF，则HB⊥B1F必成立，设H在BB1C1C内射影为H1，BH1⊥B1F必成立.…10分
设BH1交B1F于G ∵∠BB1G=30° 则∠B1BG=60° ∠GBC=90°－60°=30°
∴CH1=BC=CC1 即H1是CC1中点……12分
∴H也必是DD1中点，∴这样的点存在且是DD1之中点
解法二 以D为原点如图建立空间直角坐标系，设H坐标为（0，0，
），B1（1，1，1）
B（1，1，0） F（
，1，0） BH⊥EF恒成立（如方法一）
若BH⊥平面B1EF，BH⊥B1F 即
……10分
又
故存在点H是DD1之中点……12分
20．解（1）Tr+1=C
由
解得
……3分
……6分
（2）
要使（
只需
……8分 10当
时，设
|
| （0， |
| （ |
|
| — | 0 | + |
|
|
| 极小值 |
|
，+
）
……10分
20当
时，不成立 30当
时，不成立 故当
……12分
另解法 
只需
21．解：（1）
∴椭圆方程：
……2分
设A（
得1=
当且仅当
时“=”成立A（
，1）……4分
或设
当
时 
取最大值为
（2）设P（
为所求轨迹上一点，平行四边形对称中心为（
……5分
设
得
①
而
② 将②代入①化简得
∴A在圆内.……8分
（3）若
轴，得
相应的OA′PB′不是矩形
设
联立有
……10分
即
即
舍去
故矩形存在，方程为
……12分
22．解：（I）
……2分 当
当
……4分
（II）设
由
由于仅有一个公共点.
（III）
……12分
