高三春期入学考试数学试题
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
1．设集合
，则集合
的子集的个数是： A．11 B．10 C．15 D．16
2．已知
： A．
B．8 C．18 D． 
3．函数
，则函数
在点
处的变化率是：
A．2 B．－2 C．4 D．－4
4．奇函数
满足
，则
：
A．11 B．－11 C．2 D．－2
5．一班有学员54人，二班有学员42人，现在要用分层抽样的方法从两个班抽出一部分人
参加4×4方队进行军训表演，则一班和二班分别被抽取的人数是：
A．9人、7人 B．15人、1人 C．8人、8人 D．12人、4人
6．函数f(x)=log2(x-1) + log2(x+2)的反函数是g(x)，则g(2)等于：
A．2 B．1 C．-3 D．2 或-3
7．一个学生通过某种英语听力测试的概率是1/2，他连续测试n次，要保证他至少有一次通过的的概率大于0.9，那么他测试的次数n的最小值为：
A．3 B．4 C．5 D．6
8．已知函数
，则函数的最大值是：
A．
B．
C．
D．
9．数列
，则该数列相邻两项的积是负数的是：
A．
B．a22·a23 C．a23·a24 D．a24·a25
10．甲乙两人同时从相距72英里的M，N出发且相向而行，甲以每小时4英里的速度步行，
乙第1小时步行2英里，第2小时步行2.5英里，第3小时步行3英里等等（成等差数
列），经过t小时甲乙相遇A点.则一定有：
A．
B．
C．
D．以上都不对
11．已知椭圆
和抛物线
的离
心率分别为e1、e2、e3，则：
A．e1e2< e3 B．e1e2= e3 C．e1e2> e3 D．e1e2≥e3
12．如图，液体从一个圆锥形漏斗漏入一圆柱桶中，开始时漏
斗盛满液体，经过3秒漏完，圆柱桶中液面上升速度是一
个常量，则漏斗中液面的高度
与下落时间
的函数关系
的图像只可能是：
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. 把答案填在题中的横线上.
13．二项式
的展开式中的第六项是63，而第三项的二项式系
数是21，则
.
14．在某次数学测验中，学号为
的四位同学的考试成绩
且满足
，则四位同学的考试成绩的所有可能情况有
种（用数字作答）.
15．不等式
的解集为
.
16．关于函数
，有下列命题：
①
的图象可由函数
的图象向左平移
个单位得到.
②的图象可由函数的图象向左平移
个单位得到.
③的图象关于点
对称.
④的表达式可改写成
.
其中正确命题的序号是 .
春期入学考试
答 题 卷
一、选择题答题框（每小题5分，共60分）
| 题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| 答案 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
二、填空题（每小题4分，共16分）
13、 ； 14、 ；
15、 ； 16、_____ ___ 。
三、解答题：本大题共6小题，共74分. 解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤.
17．（本小题满分12分）
已知集合
，集合
.
（1）若A的区间长度为3，试求t的值.
（2）某个函数的值域是B，且∈A的概率不小于0.6，试确定t的取值范围.
18．（本小题满分12分）
已知函数
，
（
为正常数），且函数
与
的图象在
轴上的截距相等。
（1）求的值； （2）求函数
的单调递增区间；
（3）若
为正整数，证明：
.
19．（本小题满分12分）
平面向量
，点M为直线OP上的一个动点.
（1）当
取最小值，求
的坐标；
（2）当点M满足（1）的条件和结论时，求
的余弦值.
20．（本小题满分12分）
某厂使用两种零件A、B装配两种产品P、Q，该厂的生产能力是月产P产品最多有2500
件，月产Q产品最多有1200件；而且组装一件P产品要4个A零件、2个B零件，组
装一件Q产品要6个A零件、8个B零件，该厂在某个月能用的A零件最多14000个；
B零件最多12000个. 已知P产品每件利润1000元，Q产品每件利润2000元，欲使月
利润最大，需要组装P、Q产品各多少件？最大利润多少万元？
21．（本小题满分12分）
已知A、B、C是直线m上的三点，且AB=BC=6，⊙O′切直线m于点A,又过B、C
作⊙O′异于
的两切线，切点分别为D、E，设两切线交于点P，
（1）求点P的轨迹方程
（2）经过点C的直线与点P的轨迹交于M、N两点，且点C分
所成比等于2∶3，
求直线的方程.
22．（本上题满分14分）
设二次函数
,若
且
.
（1）试证：
；
（2）试比较
与
之间的大小关系；
（3）试比较
与
之间的大小关系.
参考答案
一、选择题：D D C B A A B D C C A C
二、填空题：13．
14．15 15．{xkπ－
≤x≤kπ+, k∈Z} 16．②③④
三、解答题：17．（1）
………5分
（2）
. 即
…12分
18．(1)由题意，
，
又
，所以
………3分
(2)
………5分
当
时，
，它在
上单调递增；………6分
当
时，
，它在
上单调递增。………7分
(3)设
，对于数列
，解不等式
，由
，上式化为
，解得
………9分。因
得
，于是
，而
所以
。………12分
19．解：（1）设M（x,y）,∵点M在OP上，故
共线，又
，
即x=2y 
，
，
于是
，……6分
即当且仅当
时，取得最小值－8，此时
.……8分
（2）当时,有
，…9分
20．解：设分别生产P、Q产品x件、y件，则有……1分
……4分
设利润
,要使利润S最大，只需求
的最大值. …6分 
有
.
当且仅当
时，取等号，……10分
此时最大利润
.……12分
21．（1）
点轨迹是B，C为焦点，长轴长等于18的椭圆. ……3分
以B，C两点所在直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴建立直角坐标系.
则可设椭圆的方程是
点的轨迹方程是
……6分
（2）设
，
……8分
①
又
② 由①、②消去
解得
……10分
∴由C、N可得直线的方程是：
……12分
22．（1）
……………2分
………………………4分
（2）令
，则
………………6分
∴
=
（由于
）。所以
……9分
（3）又由已知：
……………………………12分,
因此 当a>0时，
当a<0时，
…………14分