绝密★启用前
高考数学普通高等学校春季招生考试
考生注意：本试卷共有22道试题，满分150分．
一、填空题（本大题满分48分）本大题共有12题．只要求直接填写结果，每题填对得4分，否则一律是零分．
1．函数
的反函数
______．
2．若复数
满足方程
（
是虚数单位），则=________．
3．函数
的最小正周期为________．
4．二项式
的展开式中常数项的值为________．
5．若双曲线的一个顶点坐标为（3，0），焦距为10，则它的标准方程为________．
6．圆心在直线
上且与
轴相切于点（1，0）的圆的方程为________．
7．计算：
=________．
8．若向量
，
满足
，则与所成角的大小为________．
9．在大小相同的6个球中，2个红球，4个是白球．若从中任意选取3个，则所选的3个球中至少有1个红球的概率是________．（结果用分数表示）
10．若记号“*”表示求两个实数
与
的算术平均数的运算，即
，则两边均含有运算符号“*”和“+”，且对于任意3个实当选、、
都能成立的一个等式可以是_______。
11．关于的函数
有以下命题：
（1）对任意的
，
都是非奇非偶函数；
（2）不存在，使既是奇函数，又是偶函数；
（3）存在，使是奇函数；
（4）对任意的，都不是偶函数。
其中一个假命题的序号是_______。因为当=_______时，该命题的结论不成立。
12．甲、乙两人于同一天分别携款1万元到银行储蓄，甲存五年期定期储蓄，年利率为2.88%。乙存一年期定期储蓄，年利率为2.25%，并在每年到期时将本息续存一年期定期储蓄。按规定每次计息时，储户须交纳利息的20%作为利息税，若存满五年后两人同时从银行取出存款，则甲与乙所得本息之和的差为__________元。（假定利率五年内保持不变，结果精确到1分）。
二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选，选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分。
13．若、为实数，则
是
的（ ）
（A）充分不必要条件．
（B）必要不充分条件．
（C）充要条件．
（D）既非充分条件也非必要条件．
14．若直线
的倾斜角为，则（ ）
（A）等于0 （B）等于
（C）等于
（D）不存在
15．若有平面与，且
，则下列命题中的假命题为（ ）
（A）过点
且垂直于的直线平行于．
（B）过点且垂直于
的平面垂直于．
（C）过点且垂直于的直线在内．
（D）过点且垂直于的直线在内．
16．若数列
前8项的值各异，且
对任意的
都成立，则下列数列中可取遍前8项值的数列为（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
三、解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤．
17．（本题满分12分）
已知
为全集，
，求
18．（本题满分12分）
已知
，试用
表示
的值．
19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分9分．
用一块钢锭浇铸一个厚度均匀，且全面积为2平方米的正四棱锥形有盖容器（如图），设容器的高为
米，盖子边长为米．
（1）求关于的函数解析式；
（2）设容器的容积为
立方米，则当为何值时，最大？求出的最大值．
（求解本题时，不计容器的厚度）
20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分9分。
在长方体
中，点
、
分别
、
上，且
，
。
（1）求证：
；
（2）若规定两个平面所成的角是这两个平面所组成的二面角中的锐角（或直角），则在空间中有定理：若两条直线分别垂直于两个平面，则这两条直线所成的角与这两个平面所成的角相等。
试根据上述定理，在
，
，
时，求平面
与平面
所成的角的大小。（用反三角函数值表示）
21．（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分9分，第2小题满分7分。
已知椭圆
的方程为
，点
的坐标满足
。过点的直线与椭圆交于
、
两点，点
为线段
的中点，求：
（1）点的轨迹方程；
（2）点的轨迹与坐标轴的交点的个数．
22．（本题满分18分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分13分．
已知是首项为2，公比为
的等比数列，
为它的前
项和．
（1）用表示
；
（2）是否存在自然数和，使得
成立．
数学试卷答案要点及评分标准
说明：
1．本解答列出试题的一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准的精神进行评分．
2．评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅，当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分．
3．给分或扣分均以1分为单位．
答案及评分标准
一、（第1至12题）每一题正确的给4分，否则一律得零分．
1．
．
2．
．
3．
．
4．20．
5．
．
6．
．
7．
．
8．90°．
9．
．
10．
11．（1），
；（1），
；（4），等。
（两个空格全填对时才能得分，其中也可以写成任何整数）
12．219.01
二、（第13至16题）每一题正确的给4分，否则一律得零分。
13．A 14．C 15．D 16．B
三、（第17至22题）
17．解 由已知
因为
为减函数，所
由
解得
所以
由
，解得
。所以
于是
故
18．解 因为
所以
因而
又
，于是
因此
19．解（1）设
为正四棱锥的斜高
由已知
解得
（2）
易得
因为
，所以
等式当且仅当
，即
时取得。
故当米时，有最大值，的最大值为
立方米．
20．证（1）因为
，所
在平面
上的射影为
由
，得
，
同理可证
因为
所以
解（2）过作
的垂线交
于
，
因为
，所以
设
与所成的角为，则即为平面与平面所成的角．
由已知，计算得
．
如图建立直角坐标系，则得点
，
，
，
因为与所成的角为
所以
由定理知，平面与平面
所成角的大小为
21．解（1）设点、的坐标分别为
、
，点的坐标为
．当
时，设直线的斜率为，则的方程为
由已知
（1）
（2）
由（1）得
， （3）
由（2）得
，
（4）
由（3）、（4）及
，
，
，
得点Q的坐标满足方程
。
（5）
当
时，k不存在，此时l平行于y轴，因此AB的中点Q一定落在x轴上，即Q的坐标为（a，0）。显然点Q的坐标满足方程（5）。
综上所述，点Q的坐标满足方程
。
设方程（5）所表示的曲线为L，
则由
得
。
因为
，由已知
，
所以当
时，△=0，曲线L与椭圆C有且只有一个交点P（a，b）。
当
时，△＜0，曲线L与椭圆C没有交点。
因为（0，0）在椭圆C内，又在曲线L上，所以曲线L在椭圆C内。
故点Q的轨迹方程为
（2）由
解得曲线L与y轴交于点（0，0），（0，b）。
由
解得曲线L与x轴交于点（0，0），（a，0）
当a=0，b=0，即点P（a，b）为原点时，（a，0）、（0，b）与（0，0）重点，曲线L与坐标轴只有一个交点（0，0）。
当a=0且
，即点P（a，b）不在椭圆C外且在除去原点的y轴上时，点（a，0）与（0，0）重合，曲线L与坐标轴有两个交点（0，b）与（0，0）。
同理，当b=0且
，即点P（a，b）不在椭圆C外且在除去原点的x轴上时，曲线L与坐标轴有两个交点（a，0）与（0，0）。
当
且
，即点P（a，b）在椭圆C内且不在坐标轴上时，曲线L与坐标轴有三个交点（a，0）、（0，b）与（0，0）。
22．解（1）由
，得
。
（2）要使
，只要
。
因为
，所以
，故只要
。
①
因为
，所以
，
又
，故要使①成立，c只能取2或3。
当c=2时，因为
，所以当k=1时，
不成立，从而①不成立。
因为
，由
，得
，所以当
时，
，从而①不成立。
当c=3时，因为，
，
所以当k=1，2时，不成立，从而①不成立。
因为
，又，
所以当
时，，从而①不成立。
故不存在自然数c、k，使成立。