高考数学普通高等学校招生全国统一考试2

高考数学普通高等学校招生全国统一考试2

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至9页。共150分。考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题　共60分）

注意事项：

1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦

　 干净后，再选涂其它答案。不能答在试题卷上。

3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并交回。

正棱台、圆台的侧面积公式 其中、c分别表示上、下底面周长，l表示 斜高或母线长 球体的体积公式 其中R表示球的半径

参考公式：

三角函数的积化和差公式　　  　　　　　　　

　　

　　

　　

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.

1．满足条件M∪{1}={1，2，3}的集合M的个数是

A．1　　　　　　　　　　　　B．2　　　　　　　　　　　　C．3　　　　　　　　　　　　D．4

2．在平面直角坐标系中，已知两点则AB的值是

　　　 A．　　　　　　　　　　　B．　　　　　　　　　　C．　　　　　　　　　　D．1

3．下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间（）上为减函数的是

　　　 A．　　　B．　　C．　　　 D．

4．64个直径都为的球，记它们的体积之和为V_甲，表面积之和为S_甲；一个直径为a的球，

记其体积为V_乙，表面积为S_乙，则

　　　 A．V_甲＞V_乙且S_甲＞S_乙　　　　　　　　　　　　　　B．V_甲＜V_乙且S_甲＜S_乙

　　　 C．V_甲＝V_乙且S_甲＞S_乙　　　　　　　　　　　　　　D．V_甲＝V_乙且S_甲＝S_乙

5．已知某曲线的参数方程是为参数）.若以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，

 长度单位不变，建立极坐标系，则该曲线的极坐标方程是

　　　 A．　　　　　　　　　B．　　　　 C．　　　 D．

6．给定四条曲线：①，②，③，④.其中与直

 线仅有一个交点的曲线是

　　　 A．①②③　　　　　　　 B．②③④　　　　　　　　C．①②④　　　　　　　 D．①③④

7．已知且z₁=1.若，则的最大值是

　　　 A．6　　　　　　　　　　　　B．5　　　　　　　　　　　　C．4　　　　　　　　　　　　D．3

8．若，则的值为

　　　 A．3　　　　　　　　　　　　B．－3　　　　　　　　　　 C．－2　　　　　　　　　　 D．

9．12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方

 案共有

　　　 A．种　　　 B．种　　　C．种　　　 D．种

10．设命题甲：“直四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁中，平面ACB₁与对角面BB₁D₁D垂直”；命题

乙：“直四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁是正方体”.那么，甲是乙的

　　　 A．充分必要条件　　　　　　　　　　　　　　　　　　B．充分非必要条件

　　　 C．必要非充分条件　　　　　　　　　　　　　　　　 D．既非充分又非必要条件

11．已知的定义在（－3，3）上的奇函数，当0＜x＜3时，的图象如图所示，那

么不等式的解集是

A．　B．

C．　 D．

12．如图所示，是定义在[0，1]上的四个函数，其中满足性质：“对[0，1]

中任意的x₁和x₂，任意恒成立”的只有

A．　　　B．　　　　　　　　C．　　　D．

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

注意事项：

1．第Ⅱ卷共7页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中。

2．答卷前将密封线内的项目填写清楚。

题 号	二	三						总 分
		17	18	19	20	21	22
分 数

　　　　　 

　　　 　　　　 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横

线上.

13．从小到大的顺序是　　　　　　　　　　  .

14．等差数列{a_n}中，a₁=2，公差不为零，且a₁，a₃，a₁₁恰好是某等比数列的前三项，那么

该等比数列公比的值等于　　　　　  .

15．关于直角AOB在定平面α内的射影有如下判断：①可能是0°的角；②可能是锐角；③

可能是直角；④可能是钝角；⑤可能是180°的角.其中正确判断的序号是　　　　　 

（注：把你认为是正确判断的序号都填上）.

16．已知P是直线上的动点，PA，PB是圆的两

条切线，A，B是切点，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值为　　　　　　 .

三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

　　　　　　　 17．（本小题满分12分）

解不等式.

　　　　　　　  18．（本小题满分12分）

如图，在多面体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，上、下底面平行且均为矩形，相对的侧面与同一底面所成的二面角大小相等，侧棱延长后相交于E，F两点，上、下底面矩形的长、宽分别为c，d与a，b且a＞c，b＞d，两底面间的距离为h..

　 （Ⅰ）求侧面ABB₁A₁与底面ABCD所成二面角的大小；

　 （Ⅱ）证明：EF//面ABCD

　 （Ⅲ）在估测该多面体的体积时，经常运用近似公式

 V_估=S_中截面·h来计算.已知它的体积公式是

 （S_上底面+4S_中截面+S_下底面），

试判断V_估与V的大小关系，并加以证明.

　 （注：与两个底面平行，且到两个底面距离相等的截面称为该多面体的中截面.）

19．（本小题满分12分）

数列{x_n}由下列条件确定：

　 （Ⅰ）证明：对n≥2，总有；

　 （Ⅱ）证明：对n≥2，总有；

　 （Ⅲ）若数列{x_n}的极限存在，且大于零，求的值.

20．（本小题满分12分）

在研究并行计算的基本算法时，有以下简单模型问题：

用计算机求n个不同的数的和.计算开始前，n个数存贮在n台由网络连接的计算机中，每台机器存一个数，计算开始后，在一个单位时间内，每台机器至多到一台其他机器中读数据，并与自己原有数据相加得到新的数据，各台机器可同时完成上述工作.

为了用尽可能少的单位时间，使各台机器都得到这n个数的和，需要设计一种读和加的方法.比如n=2时，一个单位时间即可完成计算，方法可用下表表示：

机器号	初始时	第一单位时间		第二单位时间		第三单位时间
		被读机号	结　果	被读机号	结　果	被读机号	结　果
1	v1	2	v1+ v2
2	v2	1	v2+v1

（Ⅰ）当n=4时，至少需要多少个单位时间可完成计算？

把你设计的方法填入下表

机器号	初始时	第一单位时间		第二单位时间		第三单位时间
		被读机号	结　果	被读机号	结　果	被读机号	结　果
1	v1
2	v2
3	v3
4	v4

（Ⅱ）当n=128时，要使所有机器都得到，至少需要多少个单位时间可完成计算？（结论不要求证明）

　　　　　　　　 21．（本小题满分13分）

已知O（0，0），B（1，0），C（b，c）是△OBC的三个顶点.

　 （Ⅰ）写出△OBC的重心G，外心F，垂心H的坐标，并证明G，F，H三点共线；

　 （Ⅱ）当直线FH与OB平行时，求顶点C的轨迹.

22．（本小题满分13分）

已知是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的a，b∈R都满足：

.

　 （Ⅰ）求f（0），f（1）的值；

　 （Ⅱ）判断的奇偶性，并证明你的结论；

　 （Ⅲ）若，求数列{u_n}的前n项的和S_n.

数学试题（理工农医类）（北京卷）参考解答

说明：

一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.

二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.

三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.

四、只给整数分数.选择题和填空题不给中间分.

一、选择题：本题考查基本知识和基本运算.每小题5分，满分60分.

1.B　2.D　3.B  4.C　5.D　6.D  7.C　8.A　9.A  10.C　11.B　12.A

二、填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题4分，满分16分.

13．　14．4　 15．①②③④⑤　16．

三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17．本小题主要考查不等式的解法等基本知识，考查运算能力和逻辑思维能力.满分12分.

解：原不等式因为

又

.所以，原不等式组的解集为 .

18．本小题主要考查直线、平面的位置关系，考查不等式的基本知识，考查空间想象能力和

逻辑推理能力. 满分12分.

　 （1）解：过B₁C₁作底面ABCD的垂直平面，交底面于

PQ,过B₁作B₁G⊥PQ,垂足为G.∵平面ABCD∥平

面A₁B₁C₁D₁，∠A₁B₁C₁=90°，∴AB⊥PQ，AB⊥

B₁P. ∴∠B₁PG为所求二面角的平面角.过C₁作

C₁H⊥PQ，垂足为H.由于相对侧面与底面所成二

面角的大小相等，故四边形B₁PQC₁为等腰梯形.

∴，

即所求二面角的大小为

　 （Ⅱ）证明：∵AB，CD是矩形ABCD的一组对边，有AB//CD，又CD是面ABCD与

 面CDEF的交线， ∴AB//面CDEF.　∵EF是面ABFE与面CDEF的交线，∴AB

 ∥EF. ∵AB是平面ABCD内的一条直线，EF在平面ABCD外，∴EF∥面ABCD.

　 （Ⅲ）V_估＜V.证明： ∵a＞c，b＞d，∴

　　　　 ∴V_估＜V.

19．本小题主要考查数列、数列极限、不等式等基本知识，考查逻辑思维能力. 满分12分.

　 （Ⅰ）证明：由，可归纳证明(没有证明过程不扣分）.

　　　　从而有，所以，当n≥2时，成立.

　 （Ⅱ）证法一：当n≥2时，因为，所以

 ，故当n≥2时，成立.

 证法二：当n≥2时，因为，所以

 ，故当n≥2时，成立.

　 （Ⅲ）解：记得

　　　　 ，

 故

20．本小题主要考查运用数学思想方法，分析和解决科学问题的能力.满分12分.

　 （Ⅰ）解：当n=4时，只用2个单位时间即可完成计算.

方法之一如下：

机器号	初始时	第一单位时间		第二单位时间		第三单位时间
		被读机号	结 果	被读机号	结　果	被读机号	结　果
1	v1	2	v1+ v2	3	v1+ v2+ v3+ v4
2	v2	1	v2+v1	4	v2+ v1+ v4+ v3
3	v3	4	v3+ v4	1	v3+ v4+ v1+ v2
4	v4	3	v4+ v3	2	v4+ v3+ v2+ v1

　 （Ⅱ）解：当n=128=2⁷时，至少需要7个单位时间才能完成计算.

21．本小题主要考查直线与椭圆等基本知识，考查分析问题和解决问题的能力. 满分13分.

　 （Ⅰ）解：由△OBC三顶点坐标O（0，0），B（1，0），C（b，c）（c≠0），可求得

　　　　 重心，外心F，垂心.当时，

　　　　 G，F，H三点的横坐标均为，故三点共线；当时，设G,H所在直线的斜

 率为，F，G所在直线的斜率为.因为，

 ，所以，G，F，H三点共线.

 综上可得，G，F，H三点共线.

　 （Ⅱ）解：若FH//OB，由，得，

　　　　 配方得，即.

 所以，顶点C的轨迹是中心在（，0），长半轴长为，短半轴长为，且短

 轴在x轴上的椭圆，除去（0，0），（1，0），（，），（，－）四点.

22．本小题主要考查函数与数列等基本知识，考查分析问题和解决问题的能力. 满分13分.

　 （Ⅰ）解：. 因为，

　　　　所以

　 （Ⅱ）是奇函数.　证明：因为，

　　　　 因此，为奇函数.

　 （Ⅲ）解法一：由，

　　　　 猜测. 下面用数学归纳法证明：

　　　　 1° 当n=1时，，公式成立；

 2°假设当n=k时，成立，那么当n=k+1时，

 ，公式仍成立.

　　　　 由上两步可知，对任意成立.所以.

　　　　 因为所以，

　　　　 .

　　　　解法二：当，

　　　　  故

　　　　  所以 （以下同解法一）