高考数学普通高等学校招生全国统一考试3
共150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题共60分)
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）直线
与圆
相切，则
的值为
（A）
（B）
（C）1 （D）
（2）复数
的值是
（A）
（B）
（C） （D）1
（3）不等式
的解集是
（A）
（B）
且
（C）
（D）
且
（4）函数
在
上的最大值与最小值这和为3，则＝
（A）
（B）2 （C）4 （D）
（5）在
内，使
成立的
的取值范围是
（A）
（B）
（C）
（D）
（6）设集合
，
，则
（A）
（B）
（C）
（D）
（7）椭圆
的一个焦点是
，那么
（A） （B）1 （C）
（D）
（8）一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积恰好与半球的体积相等，那么这个圆锥轴截面顶角的余弦值是
（A）
（B）
（C）
（D）
（9）
，则有
（A）
（B）
（C）
（D）
（10）函数
（
）是单调函数的充要条件是
（A）
（B）
（C）
（D）
（11）设
，则二次曲线
的离心率取值范围
（A）
（B）
（C）
（D）
（12）从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有
（A）8种 （B）12种 （C）16种 （D）20种
第II卷(非选择题共90分)
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线．
（13）据新华社2002年3月12日电，1985年到2000年间。我国农村人均居住面积如图所示，其中，从 年2000年的五年间增长最快。
（14）函数
（
）图象与其反函数图象的交点为
（15）
展开式中
的系数是
（16）对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：
①焦点在
轴上；②焦点在轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④抛物线的通径的长为5；⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为
。
能使这抛物线方程为
的条件是第 （要求填写合适条件的序号）
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（17）如图，某地一天从6时至14时的温度变化曲线近似满足函数
（1）求这段时间的最大温差；
（2）写出这段时间的函数解析式；
（18）甲、乙物体分别从相距70米的两处同时相向运动。甲第1分钟走2米，以后每分钟比前1分钟多走1米，乙每分钟走5米。
（1）甲、乙开始运动后几分钟相遇？
（2）如果甲、乙到达对方起点后立即折返，甲继续每分钟比前1分钟多走1米，乙继续每分钟走5米，那么开始运动几分钟后第二相遇？
（19）四棱锥
的底面是边长为的正方形，
平面
。
（1）若面
与面所成的二面角为
，求这个四棱锥的体积；
（2）证明无论四棱锥的高怎样变化。面与面
所成的二面角恒大于
（20）设函数
，
（1）讨论
的奇偶性；
（2）求的最小值。
（21）已知点
到两定点
、
距离的比为
，点
到直线
的距离为1，求直线
的方程。
（22）（本小题满分12分，附加题满分4分）
（I）给出两块相同的正三角形纸片（如图1，图2），要求用其中一块剪拼成一个三棱锥模型，另一块剪拼成一个正三棱柱模型，使它们的全面积都与原三角形的面积相等，请设计一种剪拼方法，分别用虚线标示在图1、图2中，并作简要说明；
（II）试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小；
（III）（本小题为附加题，如果解答正确，加4分，但全卷总分不超过150分）
如果给出的是一块任意三角形的纸片（如图3），要求剪栟成一个直三棱柱，使它的全面积与给出的三角形的面积相等。请设计一种剪拼方法，用虚线标示在图3中，并作简要说明。
参考答案
一、选择题
| 题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| 答案 | D | C | C | B | C | B | B | C | D | A | D | B |
二、填空题
（13）1995 （14）
（15）1008 （16）②⑤
三、解答题
（17）解：（1）由图示，这段时间的最大温差是
℃
（2）图中从6时到14时的图象是函数的半个周期
∴
，解得
由图示，
这时，
将
代入上式，可取
综上，所求的解析式为
（
）
（18）解：（1）设
分钟后第1次相遇，依题意，有
，整理得
，解得
，
（舍）
第1次相遇是在开始后7分钟．
（2）设分钟后第2次相遇，依题意，有
，整理得
，解得
，
（舍）
第2次相遇是在开始后15分钟．
（19）解（1）∵平面，∴
是
在面上的射影，∴
∴
是面与面所成二面角的平面角，
而
是四棱锥的高，
∴
（2）证：不论棱锥的高怎样变化，棱锥侧面与恒为全等三角形．
作
，垂足为
，连结
，则
．
∴
，
，故
是面与面所成的二面角的平面角．
设
与
相交于点
，连结
，则
．
在△
中，
所以，面与面所成的二面角恒大于
（20）解：（I）
,
，由于
，
故既不是奇函数，也不是偶函数．
（2）
由于在
上的最小值为，在
内的最小值为
故函数在
内的最小值为
（21）解：设的坐标为
，由题意有
，即
，整理得
因为点到的距离为1，
所以
，直线的斜率为
直线的方程为
将代入整理得
解得
，
则点坐标为
或
或
直线的方程为
或
．
（22）解（I）如图1，沿正三角形三边中点连线折起，可拼得一个正三棱锥．
如图2，正三角形三个角上剪出三个相同的四边形，其较长的一组邻边边长为三角形边长的，有一组对角为直角，余下部分按虚线折起，可成一个缺上底的正三棱柱，而剪出的三个相同的四边形恰好拼成这个正三棱锥的上底．
（II）依上面剪拼方法，有
．
推理如下：
设给出正三角形纸片的边长为2，那么，正三棱锥与正三棱柱的底面都是边长为1的正三角形，其面积为
．现在计算它们的高：
，
．
所以．
（III）如图3，分别连结三角形的内心与各顶点，得三条线段，再以这三条线段的中点为顶点作三角形．以新作的三角形为直棱柱的底面，过新三角形的三个顶点向原三角形三边作垂线，沿六条垂线剪下三个四边形，可心拼成直三棱柱的上底，余下部分按虚线折起，成为一个缺上底的直三棱柱，即可得到直三棱柱．
