高考数学普通高等学校招生全国统一考试6

高考数学普通高等学校招生全国统一考试6

数　　学（文史类）

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

参考公式：

如果事件A、B互斥，那么　　　　　　　　　　　　　　球的表面积公式

P（A+B）=P（A）+P（B）　　　　　　　  S=4πR²

如果事件A、B相互独立，那么　　　　　　　　　　 其中R表示球的半径

P（A·B）=P（A）·P（B）　　　　　　　　　 球的体积公式

如果事件A在一次试验中发生的概率是P.　　　

那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概　

率　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　其中R表示球的半径

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1．不等式的解集是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

　　　A．（0，2）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．（2，+∞）　　　　　　

　　　C．（2，4）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．（－∞，0）∪（2，+∞）

2．抛物线y=ax² 的准线方程是y=2，则a的值为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

　　　A． 　　　　　　　　　　　B．－　　　　　　　　 C．8　　　　　　　　　　　　　D．－8

3．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （　　）

　　　A．　　　　　　 B．　　　 C．　　　　　　 D．

4． 已知　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

　　　A．　　　　　　　　　　 B．－　　　　　　　 C．　　　　　　　　　　 D．－

5．等差数列　　　　　　　　　　　　　　　　 （　　）

　　　A．48　　　　　　　　　　　　B．49　　　　　　　　　　 C．50　　　　　　　　　　　　D．51

6．双曲线虚轴的一个端点为M，两个焦点为F₁，F₂，∠F₁MF₂=120°，则双曲线的离心率为（　　）

　　　A．　　　　　　　　　　 B．　　　　　　　　　C．　　　　　　　　　　D．

7．设函数若，则x₀的取值范围是　　　　　　　　　　　（　　）

　　　A．（－1，1）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　B．（－1，+∞）

　　　C．（－∞，－2）∪（0，+∞）　　　　　　　 D．（－∞，－1）∪（1，+∞）

8．O是平面上一 定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足

　 则P的轨迹一定通过△ABC的　　　　　 （　　）

　　　A．外心　　　　　　　　　　B．内心　　　　　　　　　C．重心　　　　　　　　　　D．垂心

9．函数的反函数为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （　  ）

　　　A．　　　　　　　　　　 B．

　　　C．　　　　　　　　　　 D．

10．棱长为a的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为（　　）

　　　A．　　　　　　　　　　 B．　　　　　　　　　 C．　　　　　　　　　　 D．

11．已知长方形的四个顶点A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1）.一质点从AB的中点P₀沿与AB夹角为θ的方向射到BC上的点P₁后，依次反射到CD、DA和AB上的点P₂，P₃和P₄（入射角等于反射角）。若P₄与P₀重合，则tanθ=　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

　　　A．　　　　　　　　　　　　B．　　　　　　　　　　 C．　　　　　　　　　　　 D．1

12．一个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为 （　　）

　　　A．3π　　　　　　　　　　　B．4π　　　　　　　　　 C．　　　　　　　　 D．6π

第Ⅱ卷（非选择题　共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.答案填在题中横线上.

13．展开式中的系数是　　　　　   .

14．某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1200辆，6000辆和2000辆，为检验该公司的

产品质量。现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取　　

　　　　  ，　　　　  ，　　　　  辆。

15．在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC的两边AB，AC互相垂直，则AB²+AC²=BC².”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的面面积与底面面积间的关系。可以得出的正确结论是：“设三棱锥A—BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两相互垂直，则　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  ”。

16．将3种作物种植在如图5块试验田里，每块种植一种

　　作物且相邻的试验田不能种植同一作物，不同的种植

　　方法共有　　　　　　　 种.（以数字答）

三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17．（本小题满分12分）

　　已知正四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁.AB=1，AA₁=2，点E为CC₁中点，点P为BD₁中点.

　 （1）证明EF为BD₁与CC₁的公垂线；

　 （2）求点D₁到面BDE的距离.

18．（本小题满分12分）

　　已知抛物线C₁：y=x²+2x和C：y=－x²+a，如果直线l同时是C₁和C₂的切线，称l是C₁和C₂的公切线，公切线上两个切点之间的线段，称为公切线段.

　 （Ⅰ）a取什么值时，C₁和C₂有且仅有一条公切线？写出此公切线的方程；

　 （Ⅱ）若C₁和C₂有两条公切线，证明相应的两条公切线段互相平分.

19．（本题满分12分）

　　已知数列

　 （Ⅰ）求

　 （Ⅱ）证明

20．（本小题满分12分）

　　在三种产品，合格率分别是0.90,0.95和0.95，各抽取一件进行检验.

　 （Ⅰ）求恰有一件不合格的概率；

　 （Ⅱ）求至少有两件不合格的概率.　（精确到0.001）

21．（本小题满分12分）

　　已知函数是R上的偶函数，其图象关于点

　　对称，且在区间上是单调函数.求的值.

22．（本小题满分14分）

　　已知常数a>0，向量c=（0，a），i=（1，0），经过原点O以c+λi为方向向量的直线与经过定点A（0，a）以i－2λc为方向向量的直线相交于点P，其中λ∈R.试问：是否存在两个定点E、F，使得PE+PF为定值.若存在，求出E、F的坐标；若不存在，说明理由.

普通高等学校招生全国统一考试6参考解答

一、选择题：本题考查基本知识和基本运算。每小题5分，满分60分。

1．C　2．B　3．B　4．D　5．C　6．B　7．D　8．B　9．B　10．C　11．C　12．A

二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分。

13．　　14．6，30，10　15．S²_△ABC+ S²_△ACD + S²_△ADB = S²_△BCD　 16．42

三、解答题

17．本小题主要考查线面关系和四棱柱等基础知识，考查空间想象能力和推理能力，满分12分。

（1）证法一：取BD中点M.连结MC，FM .

　　　　 ∵F为BD₁中点 ，　　∴FM∥D₁D且FM=D₁D .

　　　　 又ECCC₁且EC⊥MC ，∴四边形EFMC是矩形

　　　　 ∴EF⊥CC₁. 又CM⊥面DBD₁ .∴EF⊥面DBD₁ .

　　　　 ∵BD₁面DBD₁ . ∴EF⊥BD₁ .　故EF为BD₁ 与CC₁的公垂线.

　 证法二：建立如图的坐标系，得

B（0，1，0），D₁（1，0，2），F（，，1），C₁（0，0，2），E（0，0，1）.

即EF⊥CC₁，EF⊥BD₁ .　　故EF是为BD₁ 与CC₁的公垂线.

　 （Ⅱ）解：连结ED₁，有V_E－DBD1=V_D1－DBE .

由（Ⅰ）知EF⊥面DBD₁ ，设点D₁到面BDE的距离为d.

故点D₁到平面DBE的距离为.

18．本小题主要考查导数、切线等知识及综合运用数学知识解决问题的能力，满分12分。

　 （Ⅰ）解：函数y=x²+2x的导数y′=2x+2,曲线C₁在点P（x₁,x+2x₁）的切线方程是：

y－(x+2x₁)=(2x₁+2)(x－x₁),即 y=(2x₁+2)x－x　①

函数y=－x²+a的导数y′=－2x, 曲线C₂ 在点Q（x₂,－x+a）的切线方程是

即y－(－x+a)=－2x₂(x－x₂).　 y=－2x₂x+x+a .　　 ②

如果直线l是过P和Q的公切线，则①式和②式都是l的方程，

　　　　x₁+1=－x₂

所以　　　　　　　　 

　　  　－ x=x+a.

消去x₂得方程　2x+2x₂+1+a=0.

若判别式△=4－4×2（1+a）=0时，即a=－时解得x₁=－，此时点P与Q重合.

即当a=－时C₁和C₂有且仅有一条公切线，由①得公切线方程为　y=x－ .

　 （Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知.当a<－时C₁和C₂有两条公切线

设一条公切线上切点为：P（x₁,y₁）, 　 Q（x₂ , y₂ ）.

其中P在C₁上，Q在C₂上，则有

x₁+x₂=－1,

y₁+y₂=x+2x₁+(－x+a)= x+2x₁－(x₁+1)²+a=－1+a .

线段PQ的中点为

同理，另一条公切线段P′Q′的中点也是

所以公切线段PQ和P′Q′互相平分.

19．本小题考查数列，等比数列，等比数列求和等基础知识，考查运算能力，满分12分.

　 （Ⅰ）∵a₁=1 . ∴a₂=3+1=4, a₃=3²+4=13 .

　 （Ⅱ）证明：由已知a_n－a_n－1=3^n－1,故

所以证得.

20．本小题主要考查相互独立事件概率的计算，运用数学知识解决问题的能力，满分12分.

解：设三种产品各抽取一件，抽到合格产品的事件分别为A、B和C.

　 （Ⅰ）P（A）=0.90，P（B）=P（C）=0.95.

　　　　 P=0.10 ,　P=P=0.05.

因为事件A，B，C相互独立，恰有一件不合格的概率为

　　 P（A·B·）+P（A··C）+P（·B·C）

　　  =P（A）·P（B）·P（）+P（A）·P（）·P（C）+P（）·P（B）·P（C）

　　  =2×0.90×0.95×0.05+0.10×0.95×0.95

　　  =0.176

答：恰有一件不合格的概率为0.176.

　 （Ⅱ）解法一：至少有两件不合格的概率为

　　　　 P（A··）+P（·B·）+P（··C）+ P（··）

　　　　 =0.90×0.05²+2×0.10×0.05×0.95+0.10×0.05²

　　　　 =0.012.

　 答：至少有两件不合格的概率为0.012.

解法二：三件产品都合格的概率为

P（A·B·C）=P（A）·P（B）·P（C）

=0.90×0.95²

=0.812.

由（Ⅰ）知，恰有一件不合格的概率为0.176，所以至少有两件不合格的概率为

1－P（A·B·C）+0.176

=1－（0.812+0.176）

=0.012

答：至少有两件不合格的概率为0.012.

21．本小题主要考查三角函数的图象和单调性，奇偶性等基本知识，以及分析问题和推理计算能力，满分12分.

　　解：由f(x)是偶函数，得f(－x)= f(－x).

　　即：　 所以－

对任意x都成立，且所以得=0.

依题设0，所以解得，

由f(x)的图象关于点M对称，得.

取x=0,得=－，所以=0.

22．本小题主要考查平面向量的概念和计算，求轨迹的方法，椭圆的方程和性质，利用方程判定曲线的性质，曲线与方程的关系等解析几何的基本思想和综合解题能力，满分14分。

　　解：根据题设条件，首先求出点P坐标满足的方程，据此再判断是否存在两定点，使得点P到两定点距离的和为定值.

　　∵i=(1,0),c=(0,a),　∴

　　因此，直线OP和AP的方程分别为　y=ax和y－a=－2ax .

　　消去参数，得点P（x,y）的坐标满足方程y (y－a)=－2a²x² ,

　　整理得　　　　　　　　  ①

　　因为a>0，所以得：

　 （i）当a=时，方程①是圆方程，故不存在合乎题意的定点E和F；

　 （ii）当0<a<时，方程①表示椭圆，焦点E和

　　　　为合乎题意的两个定点；

　（iii）当a>时，方程①表示椭圆，焦点E和F））为合乎题意的两个定点.