数学奥林匹克高中训练题（07）
第一试
一、选择题（本题满分36分，每小题6分）
1．(训练题12)在数
中，最大的一个是(B)．
(A) 
(B)
(C)
(D) 
2．(训练题12)设
．则
等于(D)．
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
3．(训练题12)甲命题：平面
平面
，平面平面
，则平面//平面．
乙命题：平面上不共线的三点到平面的距离相等，则平面//平面．
则(D)．
(A) 甲是真命题，乙是真命题 (B) 甲是真命题，乙是假命题
(C) 甲是假命题，乙是真命题 (D) 甲是假命题，乙是假命题
4．(训练题12)若
，其中
表示不超过
的最大整数，则是数列
(C)．
(A) 各项均为奇数 (B) 各项均为偶数
(C) 奇数项是奇数，偶数项是偶数 (D) 奇数项是偶数，偶数项是奇数
5．(训练题12)方程
的解集为
(其中，
是无理数，
)．则中的所有元素的平方和等于(C)．
(A)0 (B)1 (C)2 (D)4
6．(训练题12)在平面直角坐标系中，由不等式
所限定的图形的面积等于(A)．
(A) 50π (B) 40π (C) 30π (D) 20π
二、填空题（本题满分54分，每小题9分）
1．(训练题12)若
均为整数，且使得
．则
．
2．(训练题12)如果关于的不等式
的解集为一切实数，那么
的取值范围是 
．
3．(训练题12)已知棱长为1的正方体
，则异面直线
与
之间的距离等于 
．
4．(训练题12)数
按指出的顺序成等差数列，并且
按指出的顺序成等比数列.则
3 ．
5．(训练题12)在年龄彼此不等的30个人中选出两组，第一组12个人,第二组15个人,使得第一组中年龄最长的人比第二组中年龄最小的人的年龄要小．那么，选取方法数共有 4060 种．
6．(训练题12)若是实数，则方程
的解集是
(其中表示不超过的最大整数)．
第二试
一、(训练题12)(本题满分30分)设
在区间
上的最小值为
．试写出用表示的表达式
．并回答：当为何值时，取得最大值？这个最大值是多少？
二、(训练题12)(本题满分30分)在三棱锥
中
又知
．试求在三棱锥内所容体积最大的球的半径．(
)
三、(训练题12)(本题满分30分) 已知集合
．证明：
中任意取出15个两两互素的元素，其中至少有一个是质数．
四、(训练题12)(本题满分30分)用
个非负实数排成如下一个行
列的矩形数表：
……， 
……， 
… … … ……， … …
……， 
……， 
分别写出各行诸数的集合平均数
，在写出各列诸数的算术平均值
.令
，
．
求证:
．