数学奥林匹克高中训练题（08）
第一试
一、选择题（本题满分30分，每小题5分）
1．(训练题13)设
为圆
上任意一点，欲使不等式
恒成立，则
的取值范围是(B)．
(A)
(B)
(C)
(D)
2．(训练题13)设有三个函数，第一个函数是定义在实数集上的单调函数记为
，它的反函数是第二个函数，而第三个函数与第二个函数的图象关于直线
对称，那么，第三个函数是(B)．
(A)
(B)
(C)
(D)
3．(训练题13)
且满足
．如果以
作为三角形的三边，那么所得的结果是(C)．
(A) 不能构成三角形 (B) 可构成锐角三角形
(C) 可构成钝角三角形 (D) 可构成锐角或钝角三角形
4．(训练题13)若函数
是定义在
上的实函数，它既关于直线
对称，又关于直线
对称，那么函数(D)．
(A)不是周期函数 (B)是周期为1的函数 (C)是周期为2的函数 (D)是周期为4的函数
5．(训练题13)已知三棱锥的三条侧棱两两垂直,且各侧棱与底面所成的角分别为
．那么，
(C)．
(A) (B) (C)1 (D)
6．(训练题13)数
满足如下等式：
，那么，
的值为(B)．
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
二、填空题（本题满分30分，每小题5分）
1．(训练题13)设
，其中
为常数，则函数的最大值是 
．
2．(训练题13)已知
，
，且
，当
时，
的取值范围是 
．
3．(训练题13)设
为抛物线
上相异四点，当
四点共圆时，
．
4．(训练题13)若点
横坐标
与纵坐标
均为整数，则
点称为整点，设
为正整数，如图所示的正方形中(包括边界)一共有整点的个数为 
．
5．(训练题13)设一元三次方程
的三根在复平面上所对应的点刚好组成一个正三角形，则
0 ，此正三角形面积为 
．
6．(训练题13)设
都是整数，且
，则
8 ．
第二试
一、(训练题13)(本题满分25分)已知抛物线方程为，在其内作半径为
的
内切于抛物线，作
与外切且内切于抛物线，作
与外切且内切于抛物线，如此下去，得一列圆
，求前
个圆的面积之和．(
)
二、(训练题13)(本题满分25分)设平面上的凸边形
各边依次为
，其面积为
．试证：
．等号成立时当且仅当边形为正边形．
三、(训练题13)(本题满分35分)设
的三边分别为，且均为整数，若满足
，试求出周长的最小值并给出证明．
四、(训练题13)(本题满分35分)圆周上有1994个点，将它们染成若干种不同的颜色，且每种颜色的点数各不相同，今在每种颜色的点集中各取一个点，组成顶点颜色各不相同的圆内接多边形，为了要使这样的多边形个数最多，应将1994个点染成多少种不同的颜色？且每种颜色的点集各含有多少个点？