数学奥林匹克高中训练题（10）
第一试
一、选择题（本题满分36分，每小题6分）
1．(训练题15)正方体表面正方形的对角线中存在异面直线，如果其中两条异面直线距离是1，那么，正方形的体积(C)．
(A) 1
(B) 
(C) 1
或
(D) 或
2．(训练题15)设有长度为
的五条线段，其中任何三条线段都能组成一个三角形，共组成了10个三角形，这些三角形中(A)．
(A) 必有一个锐角三角形 (B) 必有一个直角三角形
(C) 不可能有锐角三角形 (D) 是否存在锐角三角形与已知线段长有关
3．(训练题15)在锐角
中，
为其内角，设
，则一定有(C)．
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
4．(训练题15)
为复数集，设
，
，
．则
中的元素的个数为(D)个．
(A)864 (B)432 (C) 288 (D) 144
5．(训练题15)已知正数
，满足
，则
+
+
的最小值为(B)．
(A) 1995 (B) 3
(C) 2
(D)
6．(训练题15)已知函数
在
上有定义且为增函数，并满足
．则
(D)．
(A)1
(B)0 (C) 
(D) 
二、填空题（本题满分54分，每小题9分）
1．(训练题15)已知抛物线方程
，点
在抛物线上，直线
在
轴上的截距大于0，且与抛物线交于
两点，直线
与
的倾斜角互补，则
的面积的最大值是 
．
2．(训练题15)设
是一个素数，
的各正约数之和是一个完全平方数，则= 
．
3．(训练题15)方程
在开区间
内至少有两个根，则此方程的所有根为 一切实数 ．
4．(训练题15)设
是实系数方程
的两个非零实根，且满足
，则
取值范围是 
．
5．(训练题15)设多项式
的次数不超过3次，且
．若的首项系数为负数，则
．
6．(训练题15)在一次网球比赛中，
个女子和
个男子参加，并且每个选手与其他所有选手恰好比赛一次，如果没有平局，女子胜的局数与男子胜的局数之比7：5，则
3 ．
第二试
一、(训练题15)(本题满分25分)求所有的
的值，
，使方程组
，
在
的条件下恰有10个解．
二、(训练题15)(本题满分25分)已知
均为自然数，其中
，且
．求
的值．
三、(训练题15)(本题满分35分) 某厂第一天产品不超过件，以后每天日产量都有所增加，但每日增产数量也不超过件，且设
，证明，当日产量达到
件时，工厂生产产品总数不少于
件．
四、(训练题15)(本题满分35分) 平面上有个点，其中每两个点之间的连线均染成红色或黑色，若图中总存在两个没有公共边的同色三角形，求的最小值．