数学奥林匹克高中训练题（11）
第一试
一、选择题（每小题6分，共36分）
1．(训练题16)一元二次复系数方程
恰有两个纯虚根，则（C）．
（A）
是零，
是负实数 （B）是零，是纯虚数
（C）是纯虚数，是实数
（D）是纯虚数，是纯虚数
2．
(训练题16)
是一个正整数，
的整数组解的数目是（B）．
（A）4的倍数 （B）6的倍数（C）2的倍数 （D）8的倍数
3．(训练题16)满足
的所有实数
在（D）．
（A）（
）内 （B）（3，+∞）内 （C）（－∞，
）内 （D）（－∞，）∪（3，+∞）内
4．(训练题16)
，这里
是实数．已知
则
是（C）．
（A）2500 （B）不确定的 （C）2540 （D）860
5．(训练题16)平面内，设函数
的图象与
的图象关于直线
对称，则的解析表达式是（A）．
（A）
（B）
（C）
（D）
6．(训练题16)
方程
的有序整数组解一共有（B）．
（A）n组
（B）
组 （C）
组 （D）
组
二、填充题（每小题9分，共54分）
1．(训练题16)任意整数
满足等式
的所有实数
是 
共6组 ．
2．(训练题16)使得
和
都是整数的全部正有理数组（
（
是 
共5组 ．
3．(训练题16)圆台上的上底半径r与下底半径R（R.>r）之和是母线
的6倍,而上底面积、侧面积、下底面积成等比数列，此圆台的高为20
，此圆台体积的最大值是 
．
4．(训练题16)设
∈R），对任意三个实数a,b,c,已知存在一个三角形，三边长分别为
则满足上述条件的所有实数
的范围是 
．
5．(训练题16)设
这里z是复数，用A表示点
B表示点
C表示点
，则∠ABC=
．
6．(训练题16)
是正实数，
这里x∈N。如果这序列是周期序列，则a,b必须满足条件 
．
第二试
一、(训练题16)（满分25分）已知
对于正整数n，
求证：当正整数
时，有
二、(训练题16)（满分25分）给定一个△ABC，A*是点A关于直线BC的对称点，B*是B关于直线CA的对称点，C*是C关于直线AB的对称点。求△ABC的充分必要条件，使得△A*B*C*是一个等边三角形。
三、(训练题16)（满分35分）是否存在正整数n>1,使得1，2，3，…，n2能放在一个n×n方格表内，使得每行的乘积是相同的？证明你的结论．
四、(训练题16)（满分35分）
是一个数列，对每个k，1≤k≤n，
∈｛1，0｝。如果
两数不同，写
；如果两数相同，写
。于是得到一个新数列
其中
∈｛1，0｝（1≤k≤n
）。重复上述方法，得到一个由0及1两个数字组成的三角形数表，最后一行仅一个数字，求这张数字表中1的和的最大值．