抽样方法、正态分布 复习指导
重点、难点讲解：
1．抽样的三种方法：简单随机抽样、系统抽样、分层抽样。后两种方法是建立在第一种
方法基础上的。三种方法的异同比较见课本P22表。
2．了解如何用样本估计总体: 用样本估计总体的主要方法是用样本的频率分布来估计总体分布，主要有总体中的个体取不同数值很少和较多甚至无限两种情况。
3．正态曲线及其性质：正态分布常记作N(
)，其正态分布函数：f(x)= 
,
x∈(-∞,+∞)。 把N(0,1)称为标准正态分布，相应的函数表达式：f(x)= 
,
x∈(-∞,+∞)。
正态图象的性质： ①曲线在x轴的上方，与x轴不相交。
②曲线关于直线x=μ对称。 ③曲线在x=μ时位于最高点。
④当x<μ时，曲线上升；当x>μ时，曲线下降，并且当曲线向左、右两边无限
延伸时，以x轴为渐近线，向它无限靠近。
⑤当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的
分布越分散；σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中。
4．一般正态分布与标准正态分布的转化
对于标准正态分布，用
表示总体取值小于x0的概率，即
=p(x<x0)，其几何意义是由正态曲线N(0,1)，x轴，直线x=x0所围成的面积。又根据N(0,1)曲线关于y轴的对称性知，
，并且标准正态总体在任一区间(a,b)内取值概率
。
任一正态总体N()，其取值小于x的概率F(x)= 
。
知识应用举例：
例2．为了了解某大学一年级新生英语学习的情况，从503名大学一年级学生中抽取50名作为样本，如何采用系统抽样方法完成这一抽样？
思路分析：因为总体的个数503，样本的容量50，不能整除，故可采用随机抽样的方法从总体中剔除3个个体，使剩下的个体数500能被样本容量50整除，再用系统抽样方法。
解：第一步：将503名学生随机编号1，2，3，……，503
第二步：用抽签法或随机数表法，剔除3个个体，剩下500名学生，然后对这500名学生重新编号。
第三步：确定分段间隔k=
=10,将总体分成50个部分，每部分包括10个个体，第一部分的个体编号为1，2，……，10；第二部分的个体编号11，12，……，20；依此类推，第50部分的个体编号491，492，……，500。
第四步：在第一部分用简单随机抽样确定起始的个体编号，例如是7。
第五步：依次在第二部分，第三部分，……，第五十部分，取出号码为17，27，……， 497，这样就得到了一个容量为50的样本。
例4．对某电子元件进行寿命追踪调查，情况如下：
（1）列出频率分布表； （2）画出频率分布直方图；
（3）估计电子元件寿命在100h～400h以内的概率；
（4）估计电子元件寿命在400h以上的概率；
（5）估计总体的数学期望。
思路分析：由于样本的取得具有代表性，因此，可以利用样本的期望近似地估计总体的期望。
解：（1）样本频率分布表如下：
（2）频率分布直方图如下：
（3）从频率分布表可知，寿命在100h～400h的元件出现的概率为0.65；
（4）由频率分布表可知，寿命在400h以上的电子元件出现的频率为0.20+0.15=0.35，故我们估计电子元件寿命在400h以上的概率为0.35。
（5）样本的期望为：
所以，我们估计生产的电子元件寿命的总体期望值（总体均值）为365h。
例5．正态总体为μ=0, σ=1时的概率密度函数是f(x)= 
,
x∈(-∞, +∞) ,
（1）证明f(x)是偶函数；（2）利用指数函数的性质说明f(x)的增减性。
证明：（1）任意的x∈R，f(-x)= 
,
∴f(x)是偶函数。
（2）任取x1<x2<0，则
，
∴
， ∴
，即f(x1)<f(x2)。
这说明f(x)在(-∞,0)上是递增函数， 同理可证f(x)在(0, +∞)上是递减函数。
例6．随机变量ξ服从N(0,1)，求下列值。
（1）P(ξ≥2.55) （2）P(ξ<-1.44) （3）P(ξ<1.52)
思路分析：标准正态分布，可以借助标准正态分布表。用到的公式主要有：Φ(-x)=1-Φ(x)； P(a<x<b)=Φ(b)-Φ(a)；p(x≥x0)=1-p(x<x0)。
解：（1）P(ξ≥2.55)=1-p(ξ<2.55)=1-Φ(2.55)=1-0.9946=0.0054。
（2）P(ξ<-1.44)=Φ(-1.44)=1-Φ(1.44)=1-0.9251=0.0749。
（3）P(ξ<1.52)=p(-1.52<ξ<1.52)=Φ(1.52)-Φ(-1.52)
=2Φ(1.52)-1=2×0.9357-1=0.8714。
例7．设
,且总体密度曲线的函数表达式为：f(x) 
,
x∈(-∞,+∞)。
（1）求μ，σ；（2）求p(x-1<
)及p(1-<x<1+
)。
思路分析：对照正态曲线函数，可以得出μ，σ；利用一般正态总体N(
)与标准正态总体N(0,1)概率间的转化关系，可以求出（2）。
解：（1）整理得：f(x)= 
，所以，μ=1, σ
，故
。
（2）p(x-1<)=p(1-<x<1+)=F(1+)-F(1-)=Φ(
)-Φ(
)
=Φ(1)-Φ(-1)=2Φ(1)-1
=2×0.8413-1=0.6826。
p(1-<x<1+2)=F(1+2)-F(1-)=Φ(
)-Φ(
)
=Φ(2)-Φ(-1)=Φ(2)+Φ(1)-1
=0.9772+0.8413-1=0.8185。
例8．某城市从南郊某地乘车前往北区火车站有两条路可走，第一条线路穿过市区，路程较短，但交通拥挤，所需时间（单位：分钟）服从正态分布N(50,100), 第二条线路沿环城公路走，路程较长，但交通阻塞少，所需时间（单位：分钟）服从正态分布N(60, 16)，（1）若只有70分钟时间可用，应走哪条路？
（2）若只有65分钟时间可用，应走哪条路？
思路分析：所谓最佳线路（应选择的线路）就是在允许的时间内有较大概率赶到火车站的那条线路。
解：设x为行车时间。
（1）走第一条路及时赶到的概率为：
P(0<x≤70)= 
≈
=Φ(2)=0.9772。
走第二条线路及时赶到的概率为：P(0<x≤70)=Φ(
)=Φ(2.5)=0.9938。
因此应走第二条线路。
（2）走第一条线路及时赶到的概率为：
P(0<x≤65)≈Φ(
)=Φ
(1.5)=0.9332。
走第二条线路及时赶到的概率为：
P(0<x≤65)≈Φ(
)=Φ(1.25)=0.8944。
因此应走第一条线路。