导数单元测试题
一、 选择题：
1、设在[0,1]上函数f(x)的图象是连续的，且
>0,则下列关系一定成立的是( )
（A）f(0)<0（B）f(1)>0（C）f(1)>f(0)（D）f(1)<f(0)
2、函数y=1+3x-x3有 （ ）
（A）极小值-1,极大值1（B）极小值-2,极大值3
（C）极小值-2,极大值2（D）极小值-1,极大值3
3、已知函数f(x)的导数为
，且图象过点(0,-5),当函数f(x)取得极大值-5时，x的值应为( )
（A）-1 （B）0 （C）1 （D）±1
4、曲线
处的切线方程是(
)
（A）5x+16y+8=0 （B）5x-16y+8=0
（C）5x+16y-8=0 （D）5x-16y-8=0
5、设a>0, f(x)=ax2+bx+c,曲线y=f(x)在点P(x0，f(x0))处切线的倾斜角的取值范围为
，则P到曲线y=f(x)对称轴距离的取值范围为（ ）（A）
（B）
（C）
（D）
6、已知抛物线C1:y=x2+2x和C2:y=-x2+a,如果直线l同时是C1和C2的切线，称l是C1和C2的公切线，若C1和C2有且仅有一条公切线，则a的值为( )
（A）1 （B）-1 （C）
（D）
二、 填空题：
7、函数
在点x=3处的导数为
。
8、某质点的运动方程是S=t3-(2t-1)2,则在t=1s时的瞬时速度为 。
9、找一个非零函数f(x),使
可以为
。
10、f(x)=x2+ax+b,
g(x)=x2+cx+d,又f(2x+1)=4g(x),且
，f(5)=30,则g(4)=
.
三、 解答题：
11、已知函数f(x)=x3+bx2+cx+d在(-∞,0)上是增函数，在[0,2]是减函数，且方程f(x)=0有三个根，它们分别是α,2,β.
⑴求c的值；⑵求证：f(1)≥2。
12、设
，求函数
的单调区间.
13、用总长44.8m的钢条制做一个底面是等腰三角形的直三棱柱容器的框架，如果所制做容器的底面的腰长比底边长的一半长1m，那么底面的底边、腰及容器的高为多少时容器的容积最大（参考数据2.662=7.0756,3.342=11.1556）
答案：
1、 C； 2、D; 3、B； 4、A； 5、B; 6、D
7、
； 8、-1； 9、
； 10、
；
11、⑴
，∵f(x)在(-∞,0)上是增函数，在[0,2]上是减函数，∴当x=0时，f(x)取得极大值，∴
，∴c=0。
⑵∵f(2)=0,∴d=-4(b+2), 
的两个根分别是x1=0,x2=
,∵函数f(x)在[0,2]上是减函数，∴x2=≥2,∴b≤-3,
∴f(1)=b+d+1=b-4(b+2)+1=-7-3b≥2.
12、解：
.
当
时 ， 
.
（i）当
时，对所有
，有
.
即
，此时
在
内单调递增.
（ii）当
时，对
，有
，
即，此时在（0，1）内单调递增，又知函数在x=1处连续，因此，函数在（0，+
）内单调递增
（iii）当
时，令，即.
解得
.
因此，函数
在区间
内单调递增，在区间
内也单调递增.
令
，
解得
.
因此，函数在区间
内单调递减.
13、设容器底面等腰三角形的底边长为2xm，则腰长为(x+1)m,高为
,设容器的容积为Vm3,底面等腰三角形底边上的高
由x>0及
得0<x<5.1,
,
令
，得x2-2.66x-1.02=0,(x-3)(x+0.34)=0,由x>0,解得x=3,
当0<x<3时，
；当3<x<5.1时，
，因此当x=3时，V有最大值。这时容器的底面等腰三角形的底边长为6m，腰长为4m，容器的高为5.6m.