数学奥林匹克高中训练题（01）
第一试
一、选择题（本题满分30分，每小题6分）
1．(训练题06)设
，对任意自然数
，定义
，则
的解析式为(C)．
(A)
(B)
(C)
(D)
2．(训练题06)若
，则
从小到大的顺序是(A)．
(A)
(B)
(C)
(D)
3．(训练题06)自然数
满足等式
，则
(B)．
(A)是质数 (B)是合数 (C)可能是质数，也可能是合数 (D)既不是质数，也不是合数
4．(训练题06)一圆台的上底半径为
，下底半径为
，母线
为
，现有一蚂蚁从下底面圆周的
点，绕圆台侧面(即要求与圆台的每条母线均相交)向上底面圆周的
点爬行的最短路线是 (A)．
(A)
(B)
(C)
(D)
5．(训练题06)若复数
的共轭复数是
，且
又
为定点，则函数
取最大值时在复平面上以
三点为顶点的图形是(C)．
(A)等边三角形 (B)直角三角形 (C)等腰直角三角形 (D)等腰三角形
6．(训练题06)若
是钝角三角形，则
的值域是(C)．
(A)
(B)
(C)
(D)
二、填空题（本题满分30分，每小题5分）
1．(训练题06)满足不等式
的点
的集合是
．
2．(训练题06)一个圆锥和一个圆柱，下底面在同一平面上，它们有公共的内切球，记圆锥的体积为
，圆柱的体积为
，且
，则
的最小值是 
．
3．(训练题06)一个三位自然数
称为凹数，如果同时有
（例如
都是凹数而
都不是凹数），则所有的凹数的个数是 285 ．
4．(训练题06)如图，已知椭圆
且
，动点
在
上移动，则
的面积的最小值是 
．
5．(训练题06)四次方程
的四个根当中的两个的积是24，则的值是 140 ．
6．(训练题06)四个正数之和为4，平方和为8，则这四个数中最大的那个数的最大值是 
．
三、(训练题06)(本题满分20分)
是互不相等的自然数，
证明：
．
四、(训练题06)(本题满分20分)设
分别在正方形
的边
上，
与以为半径的圆相切，线段
与
分别交对角线
于
，证明：五边形
内接于圆．
 |
五、(训练题06)(本题满分20分)100个火柴盒，标号为1至100.我们可以问其中任15个盒子总共含有的火柴为奇数或偶数，至少要问几才能确定1号盒子里的火柴数的奇偶性． (3个问题)
第二试
一、(训练题06)(本题满分35分)右图中
都是正三角形，线段FG∥BA，连
相交于
，连
并延长与的延长线相交于，证明：
．
二、(训练题06)(本题满分35分)假定
和
都是由不相等的复数所组成的序列，
已知对
均有
.证明：对任何
，乘积
都等于同一常数，并求出此常数．
三、(训练题06)(本题满分35分)证明任意
个介于
和
之间(包括104和208)的不同的正整数，其中必有两个数不互素(即此二数的最大公约数大于1)．