数学奥林匹克高中训练题（02）
第一试
一、选择题（本题满分30分，每小题5分）
1．(训练题07)十个元素组成的集合
．
的所有非空子集记为
，每一非空子集中所有元素的乘积记为
.则
（C）．
（A）0 （B）1 (C) -1 (D)以上都不对
2．(训练题07)
△ABC的三个内角
依次成等差数列，三条边
上的高
也依次成等差数列．则为（B）
（A）等腰但不等边三角形 （B）等边三角形 （C）直角三角形 （D）钝角非等腰三角形
3．(训练题07)对一切实数
，不等式
恒成立．则
的取值范围是（A）
（A）
(B) 
(C) 
(D) 
4．(训练题07)若空间四点
满足
，则这样的三棱锥
共有（A）个．
（A）0 （B）1 （C）2 （D）多于2
5．(训练题07)已知不等式
时恒成立，则
的取值范围是（B）
（A）
(B) 
(C) 
(D) 
6．(训练题07)方程
在复数集内根的个数为
.则（C）
（A）最大是2 （B）最大是4 （C）最大是6 （D）最大是8
二、填空题（本题满分30分，每小题5分）
1．(训练题07)函数
的值域是___
_____
2．(训练题07)已知椭圆
，焦点为
，
，
为椭圆上任意一点（但点不在x轴上），
的内心为
，过作平行于轴的直线交
于
.则
___
_____.
3．(训练题07)为的三个内角，且
.则
___
__.
4．(训练题07)实数满足
.则
的最小值是__
__.
5．(训练题07)在一次足球冠军赛中，要求每一队都必须同其余的各个队进行一场比赛，每场比赛胜队得2分，平局各得1分，败队得0分．已知有一队得分最多，但它胜的场次比任何一队都少．若至少有队参赛，则=__6____.
6．(训练题07)若
是一个完全平方数，则自然数
14 ．
三、(训练题07)（本题满分20分）若正三棱锥底面的一个顶点与其所对侧面的重心距离为4，求这个正三棱锥的体积的最大值．(18)
四、(训练题07)（本题满分20分）一个点在轴上运动的速度为2米/秒，在平面其它地方速度为1米/秒．试求该点由原点出发在1秒钟内所能达到的区域的边界线．
五、(训练题07)（本题满分20分）已知为虚数，且
是方程
的实根．求实数的取值范围．(
)
第二试
一、(训练题07)（本题满分20分）在中，为
边上的任一点，
于
，
于
，
交于
．
求证：
．
二、(训练题07)（本题满分35分）用个数（允许重复）组成一个长为的数列，且
.证明：可在这个数列中找出若干个连续的项，它们的乘积是一个完全平方数．
三、(训练题07)（本题满分35分）空间中有100个点，其中每四点都不在同一平面上，每三点都不在同一条直线上，每一点都与其它33点连红线，与另33点连黄线，与最后的33点连蓝线．证明：一定会出现一个三边均不同色的三角形．