数学奥林匹克高中训练题（03）
第一试
一、选择题（本题满分30分，每小题5分）
1．(训练题08)若
,且
,则正实数
和
之间的关系适合（A）．
(A)
(B)
(C) 
(D)不能确定，与
有关．
2．(训练题08) 若
(和
均为非零常数)存在两个不等的虚根
，使
，则
与零的关系适合（C）
(A)
(B)
(C)
(D)不能确定
3．(训练题08) 长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB1=2
，AD1=
。则AC的取值范围是（C）
(A)
(B)
(C) 
(D)
4．(训练题08) 已知
两点的坐标满足
，
，记原点到直线AB的距离为d，则其的取值范围适合（B）
(A)
(B)
(C)
(D)不能确定
5．(训练题08) 等比数列
中，
为公比
，
为前
项和，
，则下列命题中，正确的是（A）
(A) 
(B) 
(C) 
单调减少趋于零 (D) 单调减趋于
6．(训练题08) 若
是不大于6的非负整数，则
表示不同的椭圆（D）个．
(A)
(B)
(C)
(D)
二、填空题（本题满分30分，每小题5分）
1．(训练题08) 已知集合
是集合
子集，则的值域为____
____．
2．(训练题08) 在
的三边上分别取点
，使
在
上，
在
上，
在
上，且
，
，
，
，
，
，……，则
=____0____.
3．(训练题08)能过点
的直线与坐标轴所围成的三角形的面积等于3，这样的直线有 4 条.
4．(训练题08)若自然数与
之间的函数关系
由等式
确定，则
的表达式为___
____.
5．(训练题08) 将正方体的八个顶点两两连线，其中成异面的直线的有___210___对.
6．(训练题08) 有一批零件，其直径最小为12mm，最大为12.5mm.若从中任意抽取x个，都有2个零件的直径之差小于0.01mm，则x最小值为 52 ．
三、(训练题08)（本题满分20分）棱长为a的正方体ABCD一A1B1C1D1中。X是正方形AA1BB1的中心，Y是 正方形BB1C1C的中心，Z在对角线BD上，且DZ=3ZB，求过X，Y，Z的截面面积．（
）
四、(训练题08)（本题满分20分）若双由线y2-x2=1与
有唯一的公共点，求k的所有可取值．(
)
五、(训练题08)（本题满分20分）定义在x>0上的函数f(x)满足：（1）存在a>1，使f(a)
，（2）对任意的实数b，有f(xb)=bf(x)．求证：对于x>2,有不等式f(x-1)f(x+1)<[f(x)]2．
第二试
一、(训练题08)（本题满分35分）在中，AD，BE，CF分别是边BC，AC，AB上的高，若AE+AF=BC，BD+BF=AC，CD+CE=AB。求证：
ABC是正三角形．
二、(训练题08)（本题满分35分）批零兼营的文具店规定：凡购铅笔51支以上的（包括51支）按批发价结算，而购买50支以下的（包括50）按零售价结算。批发价每购60支比零售价60支出降价1元。现有班长小王同学来购买铅笔，若给全班每人买一支，则必须按零售价结算，需用m元（m为正整数）；但若多买10支则可按批发价结算，恰好也是用m元。问小王班上共有多少学生？
三、(训练题08)（本题满分35分）在时钟的表盘上作9个别1200的记扇形，每一个都覆盖4个数字，每两个覆盖的数字不全相同。求证：一定可以找3个扇形，恰好覆盖整个表盘。举一个反例说明，作8个扇形将不具有上述性质．