数学奥林匹克高中训练题（04）
第一试
一、选择题（本题满分36分，每小题6分）
1．(训练题09)由
展开所得的
的多项式中，系数为有理数的共有（B）项．
(A) 50 (B) 17 (C) 16 (D) 15
2．(训练题09)已知
满足
．则
的最大值是（D）
(A) 3 (B) 10 (C)20 (D)16
3．(训练题09)正方体
的棱长为
，
为
的中点，
为
的中点，过
的截面面积是（C）
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
4．(训练题09)方程
的解的个数是（B）．
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 大于2
5．(训练题09)设是正整数，
，并且
能被24整除．那么，这样的的个数为（B）．
(A) 4 (B) 5 (C) 9 (D) 10
6．(训练题09)从
中取出六个不同的数,其中至少有两个是相邻的，所有的取法种数是（D）．
(A)
(B) 
(C)
(D) 
二、填空题（本题满分54分，每小题9分）
1．(训练题09)已知
在复平面上对应点分别为
，且
．则与原点
所成的
面积等于___
_____．
2．(训练题09)设四面体
的体积为
为棱长
的中点，在
的延长线上，且
，过
三点的平面交
于
．则四面体
的体积为___
_____．
3．(训练题09)设
且
．则
的最小值为___36_____．
4．(训练题09)函数
在区间
内的最大值
的最小值是____
____．
5．(训练题09)对于正整数
，它的个位数码用
表示，记
．则
_____7___．
6．(训练题09)
条直线中恰有
条互相平行，而且
条直线中没有3条相交于同一点，则这条直线将平面分割成的块数是___
_____．
第二试
一、(训练题09)（本题满分25分）已知圆的方程为
．试在坐标平面上求两点
，使下列两条件满足：
(1) 圆上任意一点到
点的距离与到
点的距离之比为定值
；
(2) 
，且
均为自然数．(
)
二、(训练题09)（本题满分25分）求满足条件的实系数多项式
；
(1) 对于任意的实数，有
；
(2) 存在某一实数
，使
，其中为的次数．(
)
三、(训练题09)（本题满分35分）正整数的所有约数之和用
表示，(比如
)．试答下列各问：
(1) 证明：如果和互质，那么
；
(2) 当是的约数
，且
，试证是质数，其次，如果
是正整数，
是质数，试证也是质数；
(3) 设
(为正整数，为奇数)，且
．试证存在质数
使得
．
四、(训练题09)（本题满分35分）数列
是由两个1，两个3，两个
，…，两个
按从小到大顺序排列，数列各项的和记为
，对于给定的自然数，若能从数列中选取一些不同位置的项，使得这些项之和恰等于，便称为一种选项方案，和数为的所有选项方案的种数记为．试求：
的值．(
)