全国高考数学考试客观性试题逐题讲评
一、选择题
（1）设集合
，
，则集合
中元素的个数为（ ）
A.1 B. 2 C. 3 D. 4
讲解：在同一坐标系中，作出单位圆
和抛物线
的图形，易知它们有两个交点，应选B.
评注：也可通过解如下方程组求解：
（2）函数
的最小正周期是（ ）
A. 
B. 
C.
D.
讲解：作出函数的图象，易知最小正周期是，应选C.
评注：函数的最小正周期是函数
的一半.
(3) 设数列
是等差数列，且
, 
是数列的前
项的和，则（ ）
A.
B.
C.
D.
讲解：由题意得 
即
于是
，应选B.
评注：一般解法是：设等差数列的公差是
，则有已知，得
解出 
于是 
从而 ，应选B.
(4) 圆
在点
处的切线方程是（ ）
A. 
B.
C. 
D.
讲解：显然，点的坐标不适合方程A, C，从而应否定A, C; 将圆的方程化为
，圆心
到直线的距离为
，不是圆的半径2，故应选D.
评注：一般解法为：设圆的切线方程是
，即
，
则圆心到切线的距离为
解出 
(5) 函数
的定义域是（ ）
A. 
B.
C. 
D.
讲解： 取
，有
，否定C, D; 取
，有
，否定B. 应选A.
评注：一般解法为：由题意得 
，即
， 等价于 
.
(6) 设复数
的幅角的主值为
，虚部为
，则
（ ）
A. 
B.
C. 
D.
讲解：设复数
, 则有 
，
于是 
=.应选A.
评注：也可用代数形式：
(7) 设双曲线的焦点在
轴上，两条渐近线为
，则双曲线的离心率
（ ）
A. 5 B. 
C. 
D.
讲解：设双曲线的方程是
，其两条渐近线为
，于是
，即有
，有
，
，即
.应选C.
评注：双曲线对于的两条渐近线为
，也就是.
(8) 不等式
的解集为（ ）
A. 
B.
C. 
D. 
讲解：取
，适合不等式，否定C; 取
，适合不等式，否定A, B. 应选D.
评注：一种直接解法是：由原不等式得
或
，即
或
(9) 正三棱锥的底面边长为2，侧面均为直角三角形，则此三棱柱的体积为（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
讲解：显然，侧面是等腰直角三角形，其直角边为，于是三棱柱的体积为
应选C.
评注：本题的模型是正方体截下的一个，教室的一个墙角. 当中的体积计算需要转换角度思考问题.
(10) 在
中，
，则边
上的高为（ ）
A. 
B.
C.
D.
讲解：由余弦定理 
，得
，有
.应选B.
评注：请读者自己补上几何图形.
(11) 设函数
则使得
的自变量的取值范围为（ ）
A.
B. 
C. 
D.
讲解：取
，有
成立，否定C, D；取
，
有
成立，否定B. 应选A.
评注：分段函数常考常新. 本题也可给出直接解法，图象解法.
(12) 将4名教师分配到3所中学任教，每所中学至少1名教师，则不同的分配方案共有（ ）
A. 12 种 B. 24 种 C 36 种 D. 48 种
讲解： 本题可以给出一种直接解法 
应选C.
评注： 请读者用文字语言表述
的实际意义. 再想想：解法
是否正确？
二、 填空题
（13）用平面
截半径为R的球，如果球心到平面的距离为
，那么截得小圆的面积与球的表面积的比值为______________.
讲解：设截得小圆的半径是
，球的半径是R, 画一个轴截面图形. 在
中，显然，
，于是
故截得小圆的面积与球的表面积的比值为
，应填
评注：题中的就是我们常用的三角板模型，它是高考的热门话题.
（14）函数
在区间
上的最小值为_____________.
讲解：将函数式变形为
. 由
，得
. 于是，函数的最小值为
应填
评注：如果画出函数的图象，就可看出最小值对应的点是函数图象的左端点.
（15）已知函数
是奇函数，当
时，
. 设
的反函数是
，则
________.
讲解：易求得：当
时，
. 这样由
，解得
应填
评注：反函数的定义域是原函数的值域.
（16）设P是曲线
上的一个动点，则点P到点
的距离与点P到
轴的距离之和的最小值是______________.
讲解：显然，轴是抛物线的准线，而
是抛物线的焦点，于是
.
如图，
应填
评注：如果联想到抛物线的定义，就容易找到解题的开窍点.