（高三年级数学第二次诊断测试）
本卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题共60分）
参考公式：
如果事件A、B互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B)
如果事件A、B相互独立，那么P(
)=P(A)
P(B)
如果事件A在一次试验中发生的概率为p，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率：
.
球体的体积公式：
(其中R 表示球的半径).
一.选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)
1．若抛物线
上一点M的横坐标为4，M到焦点的距离为5，则点M到x轴的距离是 （ ）
A．
B．1
C．2 D．4
2．球的表面积与其内接正方体的表面积之比是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．函数
的图像的对称轴方程是( )
A．x=1 B．x=2 C．x=3 D．x=－1
4．从x轴上一点引园
的两条切线，其中一条切线的斜率为
，则两切线夹角的正切值是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．函数
的值域是（ ）
A．{1} B．{－1,1} C．(－1,1) D．[－1,1]
6.已知
都是正数，且
，则的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．已知圆周上有10个等分点，以其三个点为顶点构成三角形，其中直角三角形的概率是（ ）
A．
B． 
C．
D．
8．已知
是等差数列
的前n项和，
，则
（ ）
A. －7
B. 
C. －10 D. 2
9．已知
，则下列
值中能使△ABC是直角三角形的一个值是（ ）
A．
B．
C．
D．－5
10．在正三棱柱
中，
,则异面直线
与
所成的角的大小是（ ）
A． B．
C． D．
11．若关于x的方程
有实根，则实数
的取值范围是（ ）
A． [－2，+∞） B．[2，2] C．[－2，2] D．
12．已知
为双曲线的左、右焦点，以双曲线左支上任意一点P为圆心、
为半径的圆与以
为圆心、
为半径的圆相切，则双曲线两渐近线的夹角是（ ）
A． B． C． D． 
数 学(三)
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二.填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在题中横线上)
13．已知
为一次函数，若
，且
成等比数列，则
的值是______ .
14．
展开式中x的一次项的系数是 .
15．函数
在
上的最小值是 .
16．函数
的定义域为
，值域为
，则
的最大值是________.
三、解答题(本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或或演算步骤)
17．（本小题满分12分）
已知函数
.
(1)写出此函数
在R上的单调区间；
(2)若函数
的图像与的图像相切于相异的两点，求
的值.
18．（本小题满分12分）
已知
，回答以下问题：
Ⅰ.若
，求
的取值范围；
Ⅱ.将
用表示；
Ⅲ.求
的最大值与最小值.
19．（本小题满分12分）
（文科）如图，在棱长为1的正方体
中,
分别是
的中点.
（Ⅰ）求证:
共面；
（Ⅱ）求点
到平面
的距离；
（Ⅲ）求直线
与平面所成角的大小.
（理科）如图，在棱长为1的正方体中,过
及
的中点
作截面交
于
.
（Ⅰ）求截面与底面
所成角的大小；
（Ⅱ）求四棱锥－的体积；
（Ⅲ）求直线与截面所成角的大小.
20．（本小题满分12分）
某工厂统计资料显示，产品次品率
与日产量
（∈
)的关系如下表：
| 日产量 | 1 | 2 | 3 | 4 | … | 97 | 98 | 99 | 100 |
| 次品率 |
|
|
|
| … |
|
|
| 1 |
又生产一件正品能够盈利元,生产一件次品损失
元.
（1）将该厂的日盈利额
(元)表示为日生产量的函数；
（2）为了获得最大盈利,该厂的日产量应定为多少件?
21． （本小题满分12分）
如图,一粒子在区域
上运动,在第一秒内它从原点运动到点
,接着按图中箭头所示方向在x轴、y轴及其平行方向上运动，且每秒移动一个单位长度。
（1）设粒子从原点到达点
时，所经过的时间分别为
，试写出
的通相公式；
（2）（文科）求粒子从原点运动到点
时所需的时间。
（理科）粒子从原点开始运动，求经过2004秒后，它所处的坐标。
22．（本小题满分14分）
设
是单位圆
的直径，
是圆上的动点，过点的切线与过点
的切线分别交于
两点。四边形的对角线
和的交点为
.
（文科）求的轨迹。
（理科）过直径上一定点
(异与
三点)作直线
，与的轨迹交于
两点。求证两条动直线
与
的交点
在垂直于的直线上。
2004年高考模拟试题
数 学(三)
（高三年级第二次诊断测试）
参考答案
一、选择题(每小题5分，满分60分)
1．D . 由抛物线上一点M的横坐标为4，M到焦点的距离为5，得
，即点M到x轴的距离是4.
2．C. 设球的半径为R, 球内接正方体的棱长为a，则
。球的表面积与其内接正方体的表面积之比是
.
3．A. 函数的图像的对称轴方程就是
的对称轴x=1．
4．C.从x轴上一点引园的两条切线，其中一条切线的斜率为，另一条就是x轴，所以这两切线夹角的正切值是．
5．D.由函数，
当的终边在第一象限时，
；
当的终边在第二象限时，
；
当的终边在第三象限时，
；
当的终边在第四象限时，
；
当的终边在两个坐标轴上时，
；
综上述的值域是 [－1,1] ．
6．A. 由都是正数，且
．
7．B. 圆周上10个等分点，恰好构成5条直径，要以其三个点为顶点构成三角形
个，其中直角三角形有
个。概率是．
8．A．由得，
，
则
，
＝
.
9．C． 若
垂直，则
，四个答案都不符合；若
与
垂直，则
，C符合．
10．C．在正三棱柱中，不妨设AB=2, 则=2
,如图所示D、E、F、G为对应线段的中点，异面直线与所成的角就是DE与DG所成的角，DE=DG=
,EG=3,由余弦定理得
,从而异面直线与所成的角就是的大小是．
11．D． 若关于x的方程有实根，等价于求函数
得值域，由于
则实数的取值范围是．
12．B.以双曲线左支上任意一点P为圆心、为半径的圆与以为圆心、为半径的圆相切，则
，所以双曲线两渐近线的夹角是．
二、填空题(每小题4分,满分16分)
13．10000. 设
，
，由成等比数列
，可得
则
＝
.
14．
． 展开式中x的一次项的系数是
.
15．．令
，函数
在
的两个端点处打到最小值.
16．
．如图，要使函数在定义域上，值域为，则的最大值是
.
三、解答题(本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．解：(1)∵=
.
∴
∴函数在区间（－∞，0
，
上是增函数，在区间
，[2,+∞
上是减函数； …………(6分)
(2)由函数的图像与的图像相切于相异的两点，得
的判别式
且
的判别式
…………(10分)
所以求
.
…………(12分)
18．解：（1）因为，所以
所以
，
故的取值范围是
……………（4分）
（2）
，
；……（8分）
(3)＝
＝
＝
＝
设
，
因为时，
， 所以在 上为减函数，
所以
，
即的最大值是1，最小值是
. ………………………（12分）
19． （文科）如图，,
（Ⅰ）证明：在棱长为1的正方体中，由
得
，又因为分别是的中点，所以
，于是
，即共面；
……（4分）
（Ⅱ）解：在棱长为1的正方体中，连结
，因为
，所以平面
,其交线为
，过作交线为的垂线
，垂足为H，的长就是求点到平面的距离，
如图＝
故点到平面的距离是1； ……………（8分）
（Ⅲ）解：连接，
，由（Ⅱ）就是在平面上的射影，
就是直线与平面所成角，且＝1，＝，所以
，
从而，直线与平面所成角为.
…（12分）
（理科）（Ⅰ）解：在棱长为1的正方体中，连结，因为，所以平面,其交线为
，再过
作垂直于底面的垂线交于
，则
就是截面与底面所成角，由题意得，
，所以
故截面与底面所成角为
；……4分
（Ⅱ）解：同（文）（Ⅱ）点到平面的距离是1，
由上面，得
，
，
四棱锥－的体积
； ……8分
（Ⅲ）解：连接交于M，则
就是直线与截面所成角，
由＝1，
，
得
，
故直线与截面所成角为
.……12分
20．（本小题满分12分）
（1）解：设日产量为x（
，∈)，则次品率＝
，次品数为xp，正品数为x-xp，依题意
＝
，（，∈) ……6分
（2）解：
＝
当
时，
取最大值。……10分
因为∈，可以判断当x＝89时，取最大值。
所以，为了获得最大盈利,该厂的日产量应定为89件。……12分
21．（1）解： 设
，当粒子从原点到达
时，显然有
……… ………
.………2分
∴
＝
………4分
即
………7分
（2）（文科）有图形知，粒子从原点运动到点时所需的时间是到达点
所经过得时间
再加（44－16）＝28秒，所以
秒。………12分
（理科）由
2004，解得
，取最大得n=44,
计算得＝1980<2004，所以粒子从原点开始运动，经过1980秒后到达点，再向左运行24秒所到达的点的坐标为（20，44）。………12分
22．（本小题满分14分）
解：（文科） 以圆心O为原点，直径为x轴建立直角坐标系，则A（－1，0），B（1，0），单位圆的方程为
设 N的坐标为
，则切线DC的方程为：
，
………4分
由此可得
AC的方程为
BD的方程为
………8分
将两式相乘得：
，即
当点N恰为A或B时，四边形变为线段AB，这不符合题意，所以轨迹不能包括A、B两点，所以的轨迹方程为，（
）。………14分
另法：设四边形的对角线和的交点为的坐标为(u,v).
则AG的方程为
与切线BC的交点为C（1，
）；
BG的方程为
与切线AD的交点为D（－1，
）。
所以，经过C（1，）、D（－1，）的直线DC的方程为：
，
即
由于DC与单位圆相切，所以原点O到DC的距离为1，从而有
整理得 
，也就是的轨迹方程为。
当点N恰为A或B时，四边形变为线段AB，这不符合题意，所以轨迹不能包括A、B两点，所以的轨迹方程为，（）。
（理科）同（文科）可求出的轨迹方程为，（）………8分
设过直径上一定点(m,0）(异与三点)作直线，与的轨迹交于
两点。两条动直线与的交点
。
则AP的方程为交的轨迹（）于
………10分
BP的方程为交的轨迹（）于
………12分
因为点(m,0）、
三点共线，则
，整理并化简得
，
即点p得轨迹方程为
，也就是点P在垂直于的直线上。………14分
