解析几何

高考解析几何

一）选择题

1. （2004.江苏）若双曲线的一条准线与抛物线的准线重合，则双曲线离心率为　　　(　　A　)

(A)　　　　 (B)　　　　 (C) 4　　　　　 (D)

2．(2004.全国理)椭圆的两个焦点为F₁、F₂，过F₁作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点

　为P，则=　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （ C　）

　　A．　　　　　 B．　　　　　　C．　　　　　　 D．4

3．(2004.全国理)设抛物线y²=8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l

　 的斜率的取值范围是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （　C　）

　　A．[－，]　　B．[－2，2]　　　 C．[－1，1]　　　 D．[－4，4]

4．（2004.湖北理）与直线的平行的抛物线的切线方程是　 （　D  ）

　　A．　　　　　　　　　　 B．

　　C．　　　　　　　　　　 D．

5．（2004.湖北理）已知椭圆的左、右焦点分别为F₁、F₂，点P在椭圆上，若P、F₁、F₂是一个直角三角形的三个顶点，则点P到x轴的距离为　　　　 （　 D　）

　　A．　　　　　　 B．3　　　　　　　 C．　　　　　D．

6．（2004. 福建理）已知F₁、F₂是椭圆的两个焦点，过F₁且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，若△ABF₂是真正三角形，则这个椭圆的离心率是（　A　）

　　A．　　　 B．　　　　　 C．　　 　　　D．

7．（2004. 福建理）如图，B地在A地的正东方向4 km处，C

地在B地的北偏东30°方向2 km处，河流

的没岸PQ（曲线）上任意一点到A的距离

比到B的距离远2 km.现要在曲线PQ上

选一处M建一座码头，向B、C两地转运

货物.经测算，从M到B、M到C修建公

路的费用分别是a万元/km、2a万元/km，

那么修建这两条公路的总费用最低是（　 B ）

　　A．(2－2)a万元　　　　　　　　　　　　　　　　　　B．5a万元　　

　　C．(2+1) a万元　　　　　　　　　　　　　　　　　　D．(2+3) a万元

8．（2004. 重庆理）圆的圆心到直线的距离为 （　D　）

　　A．2　　　　　B．　　　　  　　 C．1　　　　  　　 D．

9．（2004. 重庆理）已知双曲线的左，右焦点分别为,点P在双曲线的右支上，且,则此双曲线的离心率e的最大值为：　　　 （　B ）

　 A．　　　　　　　B．　　　　　　C．　　　　 　　 D．

9．（2004. 辽宁卷）已知点、，动点，则点P的轨迹是D

　　A．圆　　　　　　 B．椭圆　　　　　 C．双曲线　　　　 D．抛物线

10．（2004. 辽宁卷）已知点、，动点P满足. 当点P的纵坐标是时，　 点P到坐标原点的距离是A

　　A．　　　　　 B．　　　　　　 C．　　　　　　D．2

11．（2004.湖南理）如果双曲线上一点P到右焦点的距离等于，那么点P到右准线的距离是　　　　　（　 A ）

　　A．　　　　　　B．13　　　　　　 C．5　　　　　　　D．

12、(2004. 四川理）已知圆C与圆(x-1)²+y²=1关于直线y=-x对称，则圆C的方程为( C )

A (x+1)²+y²=1　　　B x²+y²=1　　　 C x²+(y+1)²=1　　　 D x²+(y-1)²=1

13、(2004. 四川理）在坐标平面内，与点A(1,2)的距离为1，且与点B(3,1)的距离为2的直线共有( B )

A 1条　　　　B 2条　　　  C　3条　　　　D 4条

14．(7) (2004. 天津卷)若为圆的弦AB的中点，则直线AB的方程是(A)

　 (A)　　(B)

　　(C)　　(D)

15、（2004. 人教版理科）圆在点处的切线方程为（　 ）

A、　 B、　C、　D、

16、（2004. 人教版理科）设双曲线的焦点在轴上，两条渐近线为，则该双曲线的离心率（　 ）

A、　　　 B、 　　　　C、　　  D、

17） (2004. 天津卷)设P是双曲线上一点，双曲线的一条渐近线方程为，、分别是双曲线的左、右焦点。若，则(C)

　　(A) 或　　(B) 6　　(C) 7　　(D)9

二）填空题

11．（2004. 辽宁卷）若经过点P（－1，0）的直线与圆相切，则此直线在y轴上的截距是　　 1　　　　  .

12．（04. 上海春季高考）过抛物线的焦点作垂直于轴的直线，交抛物线于、两点，则以为圆心、　 为直径的圆方程是________________.

13．（2004. 辽宁卷）若经过点P（－1，0）的直线与圆相切，则此直线在y轴上的截距是　　 1　　　　  .

14．（04. 上海春季高考）过抛物线的焦点作垂直于轴的直线，交抛物线于、两点，则以为圆心、　 为直径的圆方程是________________.

15．（2004. 重庆理）对任意实数K，直线：与椭圆：恒有公共点，则b取值范围是______ [－1，3]_________

16．（2004. 福建理）直线x+2y=0被曲线x²+y²－6x－2y－15=0所截得的弦长等于　　4 　　　　.

17．（04. 上海春季高考）若平移椭圆，使平移后的椭圆中心在第一象限，且它与轴、轴分别只有一个交点，则平移后的椭圆方程是___________________.

18．（04. 上海春季高考）若平移椭圆，使平移后的椭圆中心在第一象限，且它与轴、轴分别只有一个交点，则平移后的椭圆方程是___________________.

19（2004.湖南理）设F是椭圆的右焦点，且椭圆上至少有21个不同的点P_i（i=1，2，3，…），使FP₁，FP₂，FP₃，…组成公差为d的等差数列，则d的取值范围为　　 　　　　.

20、（2004. 人教版理科）设是曲线上的一个动点，则点到点的距离与点到轴的距离之和的最小值为　　　　　　 .

21.以点(1，2)为圆心，与直线4x+3y-35=0相切的圆的方程是________________.

22、(2004. 四川理）设x,y满足约束条件：，则z=3x+2y的最大值是　 5 　 。

23、(2004. 四川理）设中心在原点的椭圆与双曲线2x²-2y²=1有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该椭圆的方程是　　　　　 。()

24. (2004. 天津卷)如果过两点和的直线与抛物线没有交点，那么实数的取值范围是__________________　　

25、（2004.上海理）设抛物线的顶点坐标为(2,0),准线方程为x=－1,则它的焦点坐标为　 (5,0)　　.

26、圆心在直线2x－y－7=0上的圆C与y轴交于两点A(0, -4),B(0, -2),则圆C的方程为　　　　 　(x－2)²+(y+3)²=5 　　　　　　　.

27、（2004.上海理）教材中“坐标平面上的直线”与“圆锥曲线”两章内容体现出解析几何的本质是　　　　　　　　　　 用代数的方法研究图形的几何性质　　　　　　　　　　　　　　　　　.

28、（2004. 上海卷文科)当x、y满足不等式组	2≤x≤4	时,目标函数k=3x-2y的最大值为6 .
	y≥3
	x+y≤8

29、（2004. 上海卷文科)圆心在直线x=2上的圆C与y轴交于两点A(0, -4),B(0, -2),则圆C的方程为　 (x－2)²+(y+3)²=5　　　　 .

三）解答题

30．（2004. 辽宁卷）（本小题满分12分）

设椭圆方程为，过点M（0，1）的直线l交椭圆于点A、B，O是坐标原点，

点P满足，点N的坐标为，当l绕点M旋转时，求：

　 （1）动点P的轨迹方程；

　 （2）的最小值与最大值.

30．本小题主要考查平面向量的概念、直线方程的求法、椭圆的方程和性质等基础知识，以及轨迹的求法与应用、曲线与方程的关系等解析几何的基本思想和综合解题能力. 满分12分.

（1）解法一：直线l过点M（0，1）设其斜率为k，则l的方程为

记、由题设可得点A、B的坐标、是方程组

②

①

　　　　　　　　 的解.…………………………2分

将①代入②并化简得，，所以

于是

…………6分

设点P的坐标为则

消去参数k得　　 ③

当k不存在时，A、B中点为坐标原点（0，0），也满足方程③，所以点P的轨迹方

程为………………8分

解法二：设点P的坐标为，因、在椭圆上，所以

　④　　　　　 　　⑤

④—⑤得，所以

当时，有　　  ⑥

并且　　⑦　 将⑦代入⑥并整理得 　　⑧

当时，点A、B的坐标为（0，2）、（0，－2），这时点P的坐标为（0，0）

也满足⑧，所以点P的轨迹方程为

………………8分

（2）解：由点P的轨迹方程知所以

……10分

故当，取得最小值，最小值为时，取得最大值，

最大值为……………………12分

注：若将代入的表达式求解，可参照上述标准给分.

31．（2004.湖南理）（本小题满分12分）

如图，过抛物线x²=4y的对称轴上任一点P（0,m）(m>0)作直线与抛物线交于A，B两点，点Q是点P关于原点的对称点.

（I）设点P分有向线段所成的比为，证明:；

（II）设直线AB的方程是x-2y+12=0，过A、B两点的圆C与抛物线在点A处有共同的切线，求圆C的方程.

31．解：（Ⅰ）依题意，可设直线AB的方程为 代入抛物线方程得　　

　　 ①

设A、B两点的坐标分别是 、、x₂是方程①的两根.

所以　　 

由点P（0，m）分有向线段所成的比为，

得

又点Q是点P关于原点的对称点，

故点Q的坐标是（0，－m），从而.

　　　　　　　 

　　　　　　　 

所以　

（Ⅱ）由 得点A、B的坐标分别是（6，9）、（－4，4）.

由 　得

所以抛物线 在点A处切线的斜率为

设圆C的方程是

则

解之得

所以圆C的方程是　

即　

32．(2004. 天津卷)（本小题满分14分）

　　椭圆的中心是原点O，它的短轴长为，相应于焦点的准线与轴相交于点A，，过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点。

　 (I) 求椭圆的方程及离心率；

　 (II)若求直线PQ的方程；

　 (III)设，过点P且平行于准线的直线与椭圆相交于另一点M，证明

。

(22)本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质，直线方程，平面向量的计算，曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法和综合解题能力。满分14分。

(I)解：由题意，可设椭圆的方程为

　由已知得

　　　　 

解得

所以椭圆的方程为，离心率　　　　 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。4分

(II)解： 由(I)可得

设直线PQ的方程为由方程组

　　　　　

得　　 

依题意 得

　　　　　

设 则

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　①

　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ②

由直线PQ的方程得　　于是

　　　　　　 ③

　　  ④　　　　　　  。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。8分　　　　　　　　　　　　

由①②③④得从而

所以直线PQ的方程为

　　　　　 或　　 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。10分

(III)证明：由已知得方程组

　　　　　

注意解得　 　　　　　　。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。12分

因故　　　　　

　　　　 

而所以

　　　　  　　　　　　　　 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。14分

33.制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损.

  某投资人打算投资甲、乙两个项目. 根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100﹪和50﹪，可能的最大亏损分别为30﹪和10﹪. 投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元. 问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？

33、解：，设

　　　　当时，取最大值7万元

34.（2004.江苏）已知椭圆的中心在原点，离心率为，一个焦点是F（-m,0）(m是大于0的常数).　　 (Ⅰ)求椭圆的方程；

　 (Ⅱ)设Q是椭圆上的一点，且过点F、Q的直线与y轴交于点M. 若，求直线的斜率.

35、解：（1）

（2）或0

36．（2004. 福建理）（本小题满分12分）

如图，P是抛物线C：y=x²上一点，直线l过点P且与抛物线C交于另一点Q.

（Ⅰ）若直线l与过点P的切线垂直，求线段PQ中点M的轨迹方程；

（Ⅱ）若直线l不过原点且与x轴交于点S，与y轴交于点T，试求的取值范围.

37. 本题主要考查直线、抛物线、不等式等基础知识，求轨迹方程的方法，解析几何的基本思想和综合解题能力.满分12分.

解：（Ⅰ）设P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)，M(x₀，y₀)，依题意x₁≠0，y₁>0，y₂>0.

由y=x²，　　　　　 ①

得y＇=x.

∴过点P的切线的斜率k_切= x₁，

∴直线l的斜率k_l=－=-，

∴直线l的方程为y－x₁²=－ (x－x₁)，

方法一：

联立①②消去y，得x²+x－x₁²－2=0.

∵M是PQ的中点

　　 　　　x₀==-，

∴

　　  　　y₀=x₁²－(x₀－x₁).

消去x₁，得y₀=x₀²++1(x₀≠0)，

∴PQ中点M的轨迹方程为y=x²++1(x≠0).

方法二：

由y₁=x₁²，y₂=x₂²，x₀=，

得y₁－y₂=x₁²－x₂²=(x₁+x₂)(x₁－x₂)=x₀(x₁－x₂)，

则x₀==k_l=-，

∴x₁=－，

将上式代入②并整理，得

y₀=x₀²++1(x₀≠0)，

∴PQ中点M的轨迹方程为y=x²++1(x≠0).

（Ⅱ）设直线l:y=kx+b，依题意k≠0，b≠0，则T(0，b).

分别过P、Q作PP＇⊥x轴，＇⊥y轴，垂足分别为P＇、Q＇，则

.

　　  　　y=x²

由　　　　　  消去x，得y²－2(k²+b)y+b²=0.　　　③

　　 　　 y=kx+b

　　　　　y₁+y₂=2(k²+b)，

则

　　 　　 y₁y₂=b².

方法一：

∴b()≥2b=2b=2.

∵y₁、y₂可取一切不相等的正数，

∴的取值范围是（2，+）.

方法二：

∴=b=b.

当b>0时，=b==+2>2；

当b<0时，=－b=.

又由方程③有两个相异实根，得△=4(k²+b)²-4b²=4k²(k²+2b)>0，

于是k²+2b>0，即k²>－2b.

所以>=2.

∵当b>0时，可取一切正数，

∴的取值范围是（2，+）.

方法三：

由P、Q、T三点共线得k_TQ=K_TP，

即=.

则x₁y₂－bx₁=x₂y₁－bx₂，即b(x₂－x₁)=(x₂y₁－x₁y₂).

于是b==－x₁x₂.

2

2

∴==+=+≥2.

∵可取一切不等于1的正数，

∴的取值范围是（2，+）.

38．（2004.湖北理）（本小题满分12分）

　　直线的右支交于不同的两点A、B.

（I）求实数k的取值范围；

（II）是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.

38．本小题主要考查直线、双曲线的方程和性质，曲线与方程的关系，及其综合应用能力，满分12分.

解：（Ⅰ）将直线

……①

依题意，直线l与双曲线C的右支交于不同两点，故

（Ⅱ）设A、B两点的坐标分别为、，则由①式得

……②

假设存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F（c,0）.

则由FA⊥FB得：

整理得

……③

把②式及代入③式化简得

解得

可知使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点

39. （04. 上海春季高考）(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分，第3小题满分8分.

已知倾斜角为的直线过点和点，在第一象限，.

(1) 求点的坐标；

(2)　若直线与双曲线相交于、两点，且线段的中点坐标为，求的值；

(3)　对于平面上任一点，当点在线段上运动时，称的最小值为与线段的距离. 已知点在轴上运动，写出点到线段的距离关于的函数关系式.

　39. (1) 直线方程为，设点，由及，得，，点的坐标为。

（2）由得，设，则，得。

（3）(解法一)设线段上任意一点坐标为，，

记，

当时，即时，，

当，即时，在上单调递减，∴；

当，即时，在上单调递增，。

综上所述，

(解法二) 过、两点分别作线段的垂线，交轴于、，

当点在线段上，即时，由点到直线的距离公式得：；

当点的点在点的左边，时，；

当点的点在点的右边，时，。

综上所述，