函数的应用举例
一、学习目标
1、能运用所学的函数知识、方法解决一些简单的实际问题；
2、培养阅读理解能力、建模能力、分析问题解决问题的能力和应用数学的意识。
二、例题分析
第一阶段
[例1]假设某商品靠广告销售的收入R与广告费A之间满足关系 
，那么广告效应为 
。
问如何取得最大广告效应？
思路分析：题中条件 与所求解问题无关
解： 
∴ 
说明：解应用题应避免背景的干扰，从复杂的背景中提取必要的数学关系。
[例2]有m部同样的机器一齐工作，需要m小时完成一项任务。(1)设由 x 部机器（ x为不大于m的正整数）
完成同一任务，求所需时间y（小时）与机器的部数 x的函数关系式；(2)画出所求函数当m=4时的
图像。
思路分析：
本题实质可看作：己知机器的部数求所需时间y。需要先求出每部机器单位时间内完成的工作量。
解：(1)一部机器一小时完成这项任务的 
， x部机器一小时完成这项任务的
所以 x部机器完
成这项任务所需时间（小时）为 
，其中x为不大于m的正整数。
(3)当m=4时， 
，x为1，2，3，4，对应的y值分别为16，8， 
，4。这时函数的图像
是四个点(1，16)、(2，8)、 
、(4，4)，图形同学们自己作。
[例3]某人开汽车以60km/h的度从A地到150km远处的B，在B地停留1小时后，再以50km/h的速度返回A地，
把汽车离开A地的路程 x(km) 表示为时间t(h)(从A地出发时开始）的函数，并画出函数的图像，再把
车速v(km/h)表示为时间t(h)的函数，并画出函数和图像。
思路分析：
由题意， x与t的在三个不同的时间段有不同的关系，首先要算出这三个不同时间段。
解：汽车离开A地的距离 x（km)与时间t(h)之间的关系式是：
它的图像如图2-28(1)所示
速度v(km/h)与时间th的函数关系式是:
它的图像如图2-28(2)所示。
说明：本题为分段函数问题注意分类求解。
第二阶段
[例4]某电脑用户计划用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘，根据需
要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有（ ）
A、5种 B、 6种 C、 7种 D、8种
思路分析：
题设共有五个条件，用字母分别表示有关量，将条件数式化，转化为不等式的有关问题。
解： 
讨论知，（3，2），（3，3），（3，4），（4，2），（4，3），（5，2），（6，2）是该不等式符合
条件的所有的解，故共有7故选购方式，选C。
说明：本题重在培养建模能力，以及分类讨论思想。
[例5]某公司拟投资100万元，有两种获利的可能可供选择：一种是年利率10%，按单利计算，5年后收回
本金和利息；另一种是年利率9%，按每年复利一次计算，5年后收回本金和利息，哪一种投资更有利？
这种投资比另一种投资5年可多得利息多少元？
思路分析：
这是一个单利和复利所获得收益多少的比较问题，可先按单利和复利计算5年后的本息和分别是多少，
再通过比较作答。
解答：本金100万元，年利率10%，按单利计算，5年后的本息和是
100×（1+10%×5）=150（万元）
本金100万元，年利率9%，按每年复利一次计算，5年后的本息和是
100×（1+9%）5=153.86（万元）
由此可见，按年利率9%每年复利一次计算的要比年利率10%单利计算的更有利，5年后多得利息3.86万元。
[例6]1992年底世界人口达到54.8亿，若人口的年平均增长率为x%，2000年底世界人口数为y(亿），那么
y与x的函数关系式是_______
思路分析：该题与年份有关，可用归纳的方法求解。
解：因年平均增长率为x%，1993年底人口数为54.8(1+x%)，1994年底人口数为54.8(1+x%)2，…，
2000年底人口数则为54.8(1+x%)8
应填：y=54.8(1+x%)8
第三阶段
[例7]某地为促进淡水鱼养殖业的发展，将价格控制在适当范围内，决定对淡水鱼养殖提供政府补贴，
设淡水鱼的市场价格为x元/千克，政府补贴为t元/千克。根据市场调查，当8≤x≤14时，淡水鱼的
市场日供应量P千克与市场日需求量Q千克近似地满足关系：
P=1000(x+t－8)(x≥8，t≥0),
当P=Q时的市场价格叫做市场平衡价格。
(1)将市场平衡价格表示为政府补贴的函数并求出函数的定义域；
(2)为使市场平衡价格不高于每千克10元，政府补贴至少为每千克多少元？
思路分析：本题提供的基本关系比较清晰，可直接进行数式化。
解：
化简得：5x2+(8t－80)x+(4t2－64t+280)=0
当判别式△=800－16t2≥0，即 
时，可得 
当△≥0，t≥0,8≤x≤14得不等式组：
①
或 
②
解不等式组①得 
，不等式组②无解
故所求的函数关系式为：
，定义域为 
。
(2)为使t2+4t－5≥0，解得t≥1或t≤－5。
∵t≥0，∴t≥1，从而政府补贴至少为每千克1元。
说明：实际问题的定义域由所有相关的约束条件求解。
[例8]某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，己知总收益
满足函数：
，其中x是仪器的月产量。
(1)将利润表示为月产量的函数f(x)；
(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？（总收益=总成本+利润）
思路分析：
由己知收益=总成本+利润，知道利润=总收益－总成本。由于R(x)是分段函数，所以f(x)也分段求出。
分别求出f(x)在各段中的最大值，通过比较，就能确定f(x)的最大值。
解答：(1)设月产量为x台，则总成本为20000+100x，从而
(2)当0≤x≤400时， 
，
∴当x=300时，有最大值25000；
当x>400时，f(x)=60000－100x是减函数，
f(x)<60000－100×400<25000。
∴当x=300时，f(x)的最大值为25000。
答：每月生产300台仪器时，利润最大，最大利润为25000元。
[例9]有甲、乙两种商品，经营销售这两种商品所能获得的利润依次是P和Q（万元），它们与投入资金x
(万元）的关系，有经验公式： 
今有3万元资金投入经营甲、乙两种商品，为获得最
大利润，对甲、乙两种商品的资金投入分别应为多少？能获得的最大利润是多少？
思路分析：
首先应根据题意建立利润与投入资金之间的函数关系，求得函数解析式，然后再化为求函数最大值的
问题。
解答： 设对甲种商品投资x万元，则乙种商品投资为（3－x)万元，总利润y万元，据题意有：
令 
，则x=3－t2， 
。
所以 
当 
时，ymax=1.05，此时x=0.75，3－x=2.25。
由此可知，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入应分别为0.75万元和2.25万元，获得总利
润为1.05万元。
三、练习题：
1、某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是 
.若每台产
品的售价为25万元，则生产者不亏本时（销售收入不小于总成本）的最低产量是（ ）
A、100台 B、120台 C、150台 D、180台
2、用长度为24m的材料围一个矩形家禽养殖场，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度
为（ ）
A、 3 B、 4 C、 6 D、 12
3、按复利计算储蓄利率，存入银行a万元，年利率了b%，x年后支取，本息和应为( ）
A、a(1+b%)x-1万元 B、a(1+b%)x万元 C、a(1+b%)x+1万元 D、a[1+(b%)x]万元
4、我国工农业总产值从1980年至2000年的20年间翻两番，设平均每年的增长率为x，则（ ）
A. (1+x)19=4 B. (1+x)20=2 C. (1+x)20=3 D. (1+x)20=4.
5、某商品降价10%后，欲恢复原价，则应提价（ ）
A、10% B、90%
C、11% 
6、有一批材料可以围成36m的围墙，如图，用此材料在一边靠墙的地方，围在一块矩形场地且中间用同
样材料隔成两块矩形，试求所围矩形面积的最大值是_______。
7、摆的周期T(秒)与摆线长L(米)的平方根成正比。设长为L米的摆的周期是2秒，做一个周期为3秒的摆，
摆的线长是________。
8、建筑一个容积为8m2，深为2m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米为120元和80元，那
么水池的最低造价为_______。
9、一种新型电子产品投产，计划两年后使成本降低36%，那么平均每年应降低成本（ ）
A、18% B、20% C、24% D、36%
10、某工厂同时生产两种成本不同的产品A和B，由于市场销售情况发生变化，A产品连续两次提价20%，而
B产品连续两次分别降低20%，结果A、B两产品均以每件23.04元的价格售出，则该厂此时同时售出
A、B产品各1件时，比原价格售出时，它的盈亏情况是（ ）
A、不亏不盈 B、亏5.92元 C、盈5.92元 D、盈28.96元
11、某商店购进一批单价为50元的商品，若按每件60元销售，一个月能卖出600件，为了获得更大的利润，
商店准备提高价格，若每件销售价提高1元，销售量将减少30件。问：如何提高销售价格能获得最大
的利润？一个月的最大利润是多少?
12、一块形状为直角三角形的铁皮，直角边长分别为40cm和60cm，现要将它剪成一个矩形，并以此三角形
的直角为矩形的一个角，问：怎样剪，才能使剩下的残料最少?
四、参考答案：
1—5 C A B D D
6、108m2
8、1760元
9、B
10、B
11、设提价x元，一个月总利润为y，则y=(60+x-50)(600-30x)=-30(x-5)2+6750.故当x=5时，即提价
5元，获利最大。一个月的最大利润为6750元。
12、如右图，在直角三角形铁皮ABC中，剪出一个矩形CDEF。设CD=x,CF=y,则AF=40-y.
因为△AEF∽△ABC，所以 
即 
所以 
剩下残料的面积
所以，当x=30时，S取得最小值为600，此时y=20
故在直角三角形铁皮的两直角边中点处剪开时，剩下的残料最少，最少残料为600cm2