高三数学模拟试题（文）
本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，用时120分钟.
参考公式：
如果事件A、B互斥，那么P（A+B）＝P（A）+P（B）
如果事件A、B相互独立，那么P（AB）＝P（A）P（B）
如果事件A在一次试验中发生的概率是P，
那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率
球的表面积公式S＝4πR2，其中R表示球的半径
球的体积公式
，其中R表示球的半径
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的4个选顶中，只有一项是符合题目要求的.
1、已知向量
的模为
，则实数a的值是（ ）
A．-1 B．2
C．-1 或2 D．1或-2
2、在等比数列{an}中，an>0 ，且a2＝1-a1 ，a4＝9-a3 ，则a4+a5 ＝（ ）
A．16 B．27
C．36 D．81
3、使得点A（cos2α，sin2α）到点B（cosα，sinα）的距离为1的α 的一个值是（ ）
A．
B．
C．
D．
4、已知偶函数f(x)＝logax+b在（0，+∞）上单调递减，则f(b-2) 与f(a+1)的大小关系是（ ）
A．f(b-2)<f(a+1) B．f(b-2)＝f(a+1)
C．f(b-2)>f(a+1) D．无法确定的
5、将一块边长为2的正三角形铁皮沿各边的中位线折叠成一个正四面体，则这一正四面体某顶点到其相对面的距
离是（ ）
A．
B．
C．
D．
6、已知点A（m-1，m+1）与点B（m，m）关于直线l对称，则直线l的方程是（ ）
A．x+y-1＝0 B．x-y+1＝0
C．x+y+1＝0 D．x-y-1＝0
7、已知双曲线kx2-y2＝1 的一条渐近线与直线2x+y+1＝0 垂直，则这一双曲线的离心率是（ ）
A．
B．
C．
D．
8、如图，某电路中，在A、B之间有1，2，3，4四个焊接点，若焊接点脱落，则电路不通.则可能出现的使A、B之
间的电路不通的焊接点脱落的不同情况有（ ）
A．4种 B．10种
C．12种 D．13种
9、设(3-x)n＝a0+a1x+a2x2+…+anxn，若n＝4 ，则 a0-a1+a2-… +(-1)nan＝（ ）
A．256 B．136
C．120 D．16
10、椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线必经过椭圆的另一个焦
点.今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A、B是它的两个焦点，长轴长为2a，焦距为2c.当静放在点A的小
球（小球的半径不计），从点A沿直线l击出，经椭圆壁反弹后再回到点A，若l与椭圆长轴的夹角为锐角，
则小球经过的路程是（ ）
A．4b B．2(a-c)
C．2(a+c) D．4a
11、已知不等式-1<logx(3x)<0成立，则实数x 的取值范围是（ ）
A．（，1 ） B．（0，
）
C．（
，1） D．（，）
12、已知一个半径为
的球中有一个各条棱长都相等的内接正三棱柱，则这一正三棱柱的体积是（ ）
A．
B．
C．
D．
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把各题的结果直接填在各题中的横线上．
13、有一个简单的随机样本：6，10，12，9，14，15，则样本平均数
＝__________.
14、设棱锥的底面面积是8，那么这个棱锥的中截面（过棱锥高的中点且平行于底面的截面）的面积是
__________.
15、函数
的图象中相邻两条对称轴的距离是__________.
16、已知抛物线y2＝2px(p>0) 的焦点在直线 y＝x-2上，现将抛物线沿向量a进行平移，且使得抛物线的焦点沿
直线y＝x-2 移到点（2a，4a+2 ）处，则在平移中抛物线的顶点移动的距离d＝__________.
三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17、（本小题满分12分）已知非钝角ΔABC中，∠B＝60°，边AB的长减去BC的长等于AC边上的高，若sinC和
－sinA分别是方程
的两个根，求实数m 和角A、C的值.
18、（本小题满分12分）已知函数
在y 轴上的截距为1，且在曲线上一点
处的切线斜率为
，求这一切线方程，并求该函数的极大值和极小值.
19、（本小题满分12分）已知函数
，其中
.
（1）判断函数的单调性；
（2）若命题
为真命题，求实数x 的取值范围.
20、（本小题满分12分）如图所示，已知四边形ABCD、EADM和MDCF都是边长为a的正方形，点P、Q分别是ED和
AC的中点，求：
（1）异面直线PM与FQ所成的角；
（2）四面体P—EFB的体积；
（3）(附加题，满分5分，全卷总分不超过150分)异面直线PM与FQ的距离.
21、（本小题满分12分）已知等差数列｛an｝ 的前四项的和为60，第二项与第四项的和为34，等比数列｛bn｝
的前四项的和为120，第二项与第四项的和为90.
（1）求数列 ｛an｝、｛bn｝ 的通项公式；
（2）对一切正整数n，是否存在正整数p，使得
？无论存在与否，都请给出证明.
22、（本小题满分14分）有如下命题：已知椭圆
，AA′是椭圆的长轴，P（x1，y1）是椭圆上异
于A、A′的任意一点，过P点斜率为
的直线l ，若直线l上的两点M、M′在x轴上的射影分别为
A、A′，则
（1）AMA′M′为定值4；
（2）由A、A′、M′、M四点构成的四边形面积的最小值为12.
请分析上述命题，并根据上述问题对于椭圆
(a>b>0)构造出一个具有一般性结论的命题．写出这一命题，并判断这一命题的真假.
答案：一、1、C 提示：解
得.
2、B 提示：即
.
3、C 提示： 
.
4、A 提示：必有b＝0，且0<a<1，f(b-2)＝f(2)，而2>a+1>0.
5、A 提示：即求棱长为1的正四面体的高， ∴为
.
6、B 提示：直线与AB垂直，且过AB的中点， 故得
＝1，且过点
.
7、A 提示：渐近线方程是kx2-y2＝0，由此得
，再求a、c.
8、D 提示：1号接点脱落，有23种情况；1号接点正常，2号脱落有22种情况；
1号、2号接点正常，3、4号接点都脱落有1种情况.
9、A 提示：在展开式中令x＝-1得
.
10、D 提示：由椭圆的第一定义得4a.
11、D 提示：必有0<x<1，且 
>3x>1.
12、A 提示：
.
二、13、11 提示：即
.
14、2 提示： 设中截面面积是S，则
.
15、
提示：
.
16、
提示：由4a+2＝2a-2，得a＝-2， ∴平移后抛物线的焦点为F(-4，-6)，
又(
，0)在y＝x-2上，∴p＝4， 由此可以求得平移公式为
，
代入原方程得平移后的抛物线方程是(y+6)2＝8(x+6)， 其顶点坐标为(-6，-6)) .
三、17、解：设△ABC的AC边上的高为h，由∠B＝60°，且三角形是非钝角三角形，
，依题意得AB-BC＝h，
，故得sinC-sinA＝sinCsinA，
又sinC和-sinA是方程的两个根，
；
，即
，
，此时方程为
，
它的两个根是
和x2＝1，，∴ sinC＝1，
，即有A＝30°，C＝90°.
18、解：依题意，f(0)＝1，∴b＝1，又∵f′(x)＝x2-a，由已知
，
，
，
∴所求的切线方程是 
令
，
∵当
时，f′(x)>0，当
，
当
，∴
函数f(x)有极大值
，
极小值
.
19、解：
(1)∵a∈｛a20<12a-a2｝，∴a2-12a+20<0，
即2<a<10，∴函数y＝logax是增函数；
(2)
，必有x>0，当0<x<1，
，不等式化为
，
这显然成立，此时0<x<1；
当
时，
，不等式化为
，
，故
，此时
；
综上所述知，使命题p为真命题的x的取值范围是
.
20、解：
(1)将已知图形以AD、DC、DM为相邻的三条棱补成如图所示的正方体，易知BF∥MP，
连结BQ，则∠QFB即为异面直线PM与FQ所成的角，
由正方体的性质知△BFQ是直角三角形，由
，
知∠QFB＝30°，即所求的角为30°；
(2)由于DP＝PE，所以四面体P-EBF的体积等于四面体D-EBF的一半，
所以所求的体积
.
(3)由(1)异面直线PM与FQ的距离即为MP到平面BFQ的距离，
也即M点到平面BFD的距离，设这一距离为d，
21、解：
(1)设等差数列的首项为a1，公差为d，
等比数列的首项为b1，公比为q，
依题意有
∴ an＝4n+5，bn＝3n；
(2)由(1)
令4p+5＝9n，得
，
而
，
由于
，∴ 9n-5≥4，且上式小括号中的数为8的倍数，
故对于一切正整数n，使得
的正整数p总存在.
22、解：
这一命题是：已知
，AA′是椭圆的长轴，P(x1，y1)是椭圆上异于A、A′的任意一点，过P点作斜率为
的直线l，若直线l上的两点M、M′在x轴上的射影分别为A、A′，则(1)AMA′M′为定值b2；(2)由A、A′、M′、M四点构成的四边形面积的最小值为2ab.这一命题是真命题，证明如下：
(1)不妨设A(-a，0)、 A′(a，0)，由点斜式得直线l的方程是
，
即
，由射影的概念知M与A、M′与A′有相同的横坐标，
由此可得， 
，
；
(2)由图形分析知，不论四点的位置如何，四边形的面积S＝
AA′(AM+A′M′)，
∵AA′＝2a，且AM、A′M′都为正数，
即四边形的面积的最小值为2ab.