试卷类型：A
高考模拟考试（三）
数学试题（理）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至8页。考试结束后，将本是卷和答题卡一并交回.共150分，考试时间120分钟.
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
注意事项：
1．答第Ⅰ卷前，考生必将自己的姓名、准考证号、考试科目、试卷类型（A）用铅笔涂写在答题卡上。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，不能答在试题卷上。
参考公式:
三角函数的积化和差公式 正棱台、圆台的侧面及公式
其中
、
分别表示
上、下底面周长，
表示斜高或母线长
球的体积公式 
其中R表
示球的半径
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
（1）已知集合
，若
，则
的值为
（A）0 （B）1 （C）、2 （D）0或1
（2）不等式
的解集为
，则函数
的图象为
（3）复数
且
，则
的一个取值区间为
(A)（
(B)
(C)
(D)
（4）方程
（
为参数）化为普通方程是
(A)
(B)（
(C)（
(D)
（5）)函数
，给出下列命题，其中正确的是
(A)当
时，
(B)函数
在区间
上是增函数
(C)函数的图象关于直线
对称
(D)函数的图象是由函数
的图象向左平移
个单位得到
（6）某人坐在一趟以每小时120公里由东向西行驶的火车上，发现在与火车道平行且与火车道相距1公里的笔直公路上行驶着一辆汽车，此时汽车处于北偏西
处，当行驶1小时后，汽车在北偏东
处，则汽车行驶的速度为
(A) 120 (B)
(C)118
(D)117
（7）数列
满足
若
，则
(A)
(B)
(C)
(D)
（8）一个圆锥有三条母线两两垂直，则它的侧面展开图的圆心角为
(A)
(B)
(C)
(D)
（9）函数
在区间
上是增函数，则
的取值范围为
(A)
(B)
(C)
(D)
（10）双曲线
与抛物线
交于
、
两点，若直线
既过双曲线的焦点，又过抛物线的焦点，则此双曲线的离心率为
(A) 
(B)
(C)2
(D)3
（11）在正三棱柱
中，
,则异面直线
与
所成的角的大小是
A．
B．
C． D．
（12）13年前有一笔扶贫助学基金，将利息用于扶贫助学，每年的存款年利率为11.34%（不扣税），可资助100人上学，平均每人每月94.5元，而现在的年利率为1.98%，且扣20%的利息率税，同样资助100人上学，而现在每人每月的生活费为100元，则需要的扶贫助学资金再增加的款数约为
(A)631313 (B)83333 (C)547980 (D)
高考模拟考试（三）
数学试题（理）
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
注意事项：
1. 第Ⅱ卷共7页，用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上.
2. 答卷前将密封线内的项目填写清楚.
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. 把答案填在题中的横线上.
(13)(0.997)
的近似值（精确到0.001）为__________________.
(14)正方体
中，
，线段
在上运动，且
，则四面体
的体积为_____________________.
(15)对某种产品中的10件不同的正品和2件不同的次品，一一进行测试，到区分出所有次品为至，若所有次品中恰好在第四次测试中全部出现，则测试的方法有____________种.
(16)椭圆两焦点
、
，椭圆上满足
的点
个数为______________.
三、解答题：本大题共6小题，共74分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
（17）（本小题满分12分）函数
，求的最大值及取最大时
的集合.
（18）（本小题满分12分）如图，四面体
中，
与
都是边长为4的正三角形
(I)求证：
(II)若点
到平面
的距离不小于3，求二面角
的平面角的取值范围
(III)当二面角的平面角为时，求点
到平面
的距离.
(19) （本小题满分12分）已知
定义域为
，且对任意的
、
，恒有
，
时，
(I)求
的值，并证明
(II)求证：在
的定义域内恒有
(20)（本小题满分12分）已知动点到定点
的距离比它到定直线
的距离小1
(I)求动点的轨迹方程
(II)设点是①中轨迹上任意一点，试问：是否存在常数，使得在直线
上存在唯一点，满足
，若存在，求出常数，若不存在，请说明理由。
(21)（本小题满分12分）某地计划从今年起填海湾围造一部分生产和生活用地，若填海湾费，购置排水设备费等所需经费与当年所填海湾造地面积（亩）的平方成正比，其比例系数为，设每亩水面的年平均经济收益为
元，填海湾造地后的每亩土地的年平均收益为元（其中、、
均为常数）
(I)若按计划填海湾造地，且使得今年的收益不小于支出，试求所填面积的最大值
(II)如果填海湾造地面积按每年1%的速度减少，为保证水面的畜洪能力和环保要求，填海湾造地的总面积永远不能超过现有海湾面积的25%，求今年填海湾造地的面积最多能占现有海湾的百分之几？
(22) （本小题满分14分）我们可以证明：当
时，函数
在开区间
内是增函数；当
时，函数
在开区间内是减函数.
(I)若数列满足
，
（
为正整数），
求证：
(II)若数列
满足
，
（为正整数），问数列是否单调？
高考模拟考试数学理（三）
参考答案（理）
一、选择题（每小题5分，共60分）
1~5 BBABC 6~10 C BB AB 11~12 C D
二、填空（每小题4分，共16分）
13、 0.991 14、
15、 540 16、 0或2或4
三、解答题
17、
=
=
……………………………………………………4分
=
=1+
…………………………………………………………6分
…………………………………………………………8分
当
,即
…………………………10分
∴最大值
，此时
…………………………12分
18、(Ⅰ)取
的中点
，连
∵，
都是边长为4的正三角形
∴
，
且
…………………………………………2分
∴
面
又∵
面
∴…………………………………………………………………………4分
（Ⅱ）∵，
∴
为二面角
的平面角，过D作
交
于E
∵面
面ABC
∴DE⊥面ABC
∴DE是D到面ABC的跑离，DO=
BD
……………………………………………………6分
∵DE≥3
∴
sin∠AOD≥3 
∴
…………………………………………………………………8分
（Ⅲ）由于
，
设点到平面的距离为
，由
得
……………………………………………………………10分
所以
故点到平面的距离为
………………………………………………12分
19、（1）∵
∴当
时，
得
……………………………………………………………………2分
令
得 
∴
即………………………………………………………………4分
(2)∵时
∴时，
……………………………6分
∴在
上单调递减……………………………………………8分
(3)∵对于的定义域内
有
………………………10分
∴
……………………………………12分
20、（Ⅰ）设
，依题意知点P的轨迹是以点F（1，0）为焦点，以直线
为准线的抛物线，其轨迹方程为
…………………………………………4分
（Ⅱ）假设有在常数a满足题设
则以PF为直径的圆与直线相切
设P（
）则PF的中点M（
）到直线的距离为
，…………………………………………………………………8分
则
化简得 
…………………………………………………………10分
上式为关于y的恒等式，于是
综上知，有在常数，使得在直线上存在唯一点Q，满足PQ⊥QF
…………………………………………………………………………………………12分
21、填海湾面积（亩），填海湾及排水设备费
（元），水面经济收益
，填海湾造地后收益
…………………………………………………………………2分
（Ⅰ）收益不小于支出的条件可以表示为
………………………………………………………………………4分
所以
当
即
时，不能填海湾造地
当
即
时，此时所填面积的最大值为
亩…………………6分
（Ⅱ）设该地现有水面亩，今年填海湾造地亩则
……………………………………………8分
不等式左边也是无穷等比数列（首项为，公比
）的和
故有
即
………………………………………………10分
因此，今年海湾造地面积最多只能占现有水面的0.25%…………………………12分
22、(Ⅰ)由题设知，当
时，
假设当
时，有
则
当
时，有
且
（因为
在(0，1)上是增函数）
∴时命题成立，故
为正整数……………………………6分
又∵
∴…………………………………………………………………8分
(Ⅱ)数列不具有单调性
令
则
∴
…………………………………………………………………………10分
而
（因为
在(0，1)上是减函数）
∴
∴数列不具有单调性………………………………………………………14分