简易逻辑-高中三年级数学试题练习、期中期末试卷、测验题、复习资料-高中数学试卷-试卷下载

简易逻辑

学习内容

　1．命题，简单命题，复合命题的概念．

　2．逻辑联结词的含义，能用“p或q”，“p且q”，“非p”的形式表示复合命题．

　3．会判断命题的真假，掌握真值表．

　4．掌握四种命题及其关系

　5．反证法

　6．掌握充要条件，理解并学会使用推出符号“”

　7．会判断充要条件

学习重点：

　1．命题：初中给命题下的定义是：判断一件事情的句子，叫做命题．而高中教科书中的定义是：可以判

断真假的语句叫做命题，说法不同，实质是一样的．语句是不是命题，关键在于能不能判断其真假，也就是

判断其是否成立，不能判断真假的语句，就不能叫命题．例如：“这是一棵大树”；“x<2”都不能叫命

题，由于“大树”没有界定，就不能判断“这是一棵大树”的真假．由于x是未知数，也不能判断“x<2”是

否成立．

　2．逻辑联结词：“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词，不含逻辑联结词的命题，叫做简单命

题．由简单命题与逻辑联结词构成的命题，叫做复合命题．

　①逻辑中的“或”、“且”、“非”与日常用语中的“或”、“且”、“非”的意义是不尽相同的，要结

合真值表加以理解．另外，结合集合的并集、交集、补集来理解联结词，它们的定义分别用“或”、“且”

、“非”等联结词．

　②对于复合命题的理解要注意“由简单命题与…”，其中我们只注意“联结词”，而不注意“命题”．如

x>2或x<-2就不是复合命题，因为它不是命题，因此，不要认为凡是含有联结词的语句就是复合命题．

　③对于三个真值表可做如下理解　

　　ⅰ）“非p”形式复合命题的真假与p的真假相反；

　　ⅱ）“p且q”形式复合命题当p与q同时为真时为真，其他情况时为假；

　　ⅲ）“p或q”形式复合命题当p与q同时为假时为假，其他情况时为真．真值表是我们判断真假命题的直

接依据．

　3．四种命题

　关于逆命题，否命题与逆否命题，也可以如下表述：

　　①交换原命题的条件和结论，所得的命题是逆命题

　　如，同位角相等，两条直线平行．它的逆命题就是两条直线平行，同位角相等．

　　②同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题，

　　如上例的否命题就是同位角不相等，两条直线不平行．

　　③交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题是逆否命题．

　　如①例的逆否命题是两条直线不平行，同位角不相等．

　4．四种命题之间的关系

　　互逆命题、互否命题与互为逆否命题都是说两个命题的关系，把其中一个命题叫做原命题时，另一个命

题就叫做原命题的逆命题、否命题与逆否命题．四种命题之间的关系如图所示

　5．一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下三条关系

　　①原命题为真，它的逆命题不一定为真

　　例如，原命题“若a=0，则ab=0”是真命题，它的逆命题“若ab=0，则a=0”是假命题．

　　②原命题为真，它的否命题不一定为真

　　例如，原命题“若a=0，则ab=0”是真命题，它的否命题“若a≠0，则ab≠0”是假命题．　

　　③原命题为真，它的逆否命题一定为真

　　例如，原命题“若a=0，则ab=0”为真命题，它的逆否命题是“若ab≠0，则a≠0”是真命题．

　6．反证法

　　①反证法的理论根据是：原命题为真，则它的逆否命题也为真．在直接证明原命题有困难时，就可转化

为证明它的逆否命题成立．

　　②用反证法证明命题的一般步骤是

　　第一步：假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；

　　第二步：从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾：

　　第三步：由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确．

　　③一般地来说，在什么条件下（或问题中）想到用反证法来证明，下面提供几种情形作为参考．

　　第一，问题共计有n种情况，现要证明其中一种情况成立时，可想到用反证法证明把其他的n-1种情况都

排除，从而确定这种情况成立．

　　如，要证明两条直线相交，可用反证法证明这两条直线平行不成立，因为在同一平面内，两条直线的位

置关系是平行或相交，平行不成立，那么间接证明了两条直线相交；

　　第二，命题用否定形式叙述的，如证明2不是方程2x+1=0的根，可用反证法证明，假设2是方程2x+1=0的

根，则2×2+1应等于0，而2×2+1=5，产生矛盾，从而确定2不是方程2x+1=0的根成立；

　　第三，命题用“至少”的字样叙述时，可用反证法证明，如证明a≠b，b≠c至少有一个成立，那我们可

用反证法证明如下：假设a≠b，b≠c都不成立，即a=b且b=c，从这一条件出发推得矛盾，a=b，且b=c不成

立，因此，a≠b，b≠c至少有一个成立；

　　第四，当命题成立非常明显，要直接证明，所用的理论不少，但不容易说明白，而它的逆否命题易证，

如上面的例子，证明两条直线相交的依据几乎没有，而证明平行线有很多性质，易于推理，因此，用反证法

把证明两条直线相交问题转化到平行的性质．

　7．充要条件

　　(1)对充要条件的理解

　　对于命题“若p则q”，即p是条件，q为结论．

　　①如果由pq，则p是q的充分条件

　　②如果由qp，则p是q的必要条件

　　③如果pq，则p是q的充要条件，q也是p的充要条件

　　如x>0是x²>0的充分条件；x²>0是x>0的必要条件；x≠0是x²>0的充要条件，x²>0也是x≠0的充要条件，

充要条件是相互的．

　　(2)充要条件的判断．

　　充要条件的判断主要以选择题形式出现，

　　如在△ABC中，A>B是a>b的（）

　　A．充分条件 B．必要条件

　　C．充要条件 D．非充分非必要条件　　　　本题选（C）

　　①直接用充要条件定义判断

　　②借助四种命题之间的关系间接判断，如所给命题的条件不易判断，我们可以转化为判断它的逆否命题

的条件，因为原命题与其逆否命题是等价的，即同真或同假．反证法就是一种间接法．

例题分析：

第一阶梯

　例1．分别指出下列复合命题的形式及构成它的简单命题：

　　①1既不是质数，也不是合数；

　　②0不是奇数；

　　③斜三角形的内角是锐角或是钝角．

　　解：①这个命题是p且q的形式，其中p：1不是质数；q：1不是合数

　　　　②这个命题是非p的形式，其中p：0是奇数

　　　　③这个命题是p或q的形式，其中p：斜三角的内角是锐角，q：斜三角形的内角是钝角．

　反思回顾：在①中，p和q两个命题还是非p形式的．

　例2．选择题

　　1．“x>-1”是“x>1”的（）

　　2．“a>b”是“a²>b²”的（）

　　3．“a=b”是“ac=bc”的（）

　　4．“a>b”是“ac²>bc²”的（）

　　5．“a>b”是“a+c>b+c”的（）

　　6．“x>1”是“x>1”的（）

　　7．“x=1”是“x²-2x+1=0”的（）

　　8．“a>b，b>c”是“a>c”的（）

　　9．“x+5是无理数”是“x是无理数”的（）

　　10．“四个内角是直角”是“四边形是正方形的”（）

　　11．“直线和圆有一个公共点”是“直线与圆相切”的（）

　　12．“两个三角形面积相等”是“这两个三角形相似”的（）

　　13．“对角线相等的四边形”是“四边形是矩形”的（）

　　14．在△ABC中，“a>b”是“A>B”的（）

　　15．“同旁内角互补”是“两条直线平行”的（）

　　　A．充分条件　 B．必要条件　C．充要条件　 D．非充分非必要条件

　　分析：

　　1．选B　

　　2．由a>b a²>b²，如3>-5，而3²<（-5）²　同理由a²>b² a>b，如9<4，而-3<-2　所以选D

　　3．选A

　　4．选B

　　5．选C

　　6．选B

　　7．选C

　　13．选B

　　14．选C

　　15．选C

　例3. 写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断这些命题的真假

　　①实数的平方为正实数

　　②若a>b，则b<a

　　提示：①原命题：若一个数是实数，则它的平方是一个正实数，为假，因为0的平方就不是正实数．

逆命题：若一个数平方为正实数，则这个数是实数，为真．

　　否命题：若一个数不是实数，则它的平方也不是一个正实数，为真．

　　逆否命题：若一个数的平方不是正实数，则它不是实数．为假．

　　②原命题：若a>b，则b<a，为真

　　　逆命题：若b<a，则a>b，为真

　　　否命题：若a≤b，则b≥a，为真

　　　逆否命题：若b≥a，则a≤b，为真

第二阶梯

　例1. 分别指出由下列各组命题构成的“p或q”，“p且q”，“非p”形式的复合命题的真假．

　　①p：3>3，q：3=3

　　②p：函数y=x2+3x+4的图象与x轴有公共点，q：方程x2+3x-4=0没有实根．

　　解：①∵p假q真，∴“p或q”为真，“p且q”为假，“非p”为真

　　　　②∵p假q假　∴“p或q”为假，“p且q”为假，“非p”为真

　　反思回顾：解这类题关键是第一步确定命题p，q的真假，如果这一步弄错了，第二步根据真值表确定的

“p或q”，“p且q”，“非p”的真假就没有保障，因此，这两步都必须搞准确．

　例2．已知α是β的充要条件，S是γ的必要条件同时又是β的充分条件，试求α与γ的关系．

　　解：由已知得

　　③该命题为真，这是等式的性质

　　逆命题：若两个式子都乘以同一个数，所得结果相等，则这两个式子相等．为假，如把x和x²+1都乘以0

后相等，但x≠x²+1．

　　否命题：若两个式子不相等，则把它们都乘以同一个数，所得结果也不相等．为假．

　　逆否命题：若两个式子都乘以同一个数，所得的结果不相等，则这两个式子也不相等．为真．

　　④该命题为真

　　逆命题：若直线是圆的切线，则圆心到直线的距离等于半径．为真．

　　否命题：若圆心到直线的距离不等于半径，则该直线不是圆的切线．为真．

　　逆否命题：若直线不是圆的切线，则圆心到直线的距离不等于半径．为真．

　　⑤该命题为真

　　逆命题：若四边形是圆的内接四边形，则四边形的对角互补．为真

　　否命题：若四边形的对角不互补，则该四边形不是圆的内接四边形．为真逆否命题：若四边形不是圆的

内接四边形，则四边形的对角不互补．为真

　　⑥该命题为假，∵当b²-4ac<0时，二次方程ax²+bx+c=0没有实根．因此二次函数y=ax²+bx+c的图象与x

轴无公共点．

　　逆命题：若二次函次y=ax²+bx+c的图象与x轴有公共点，则b²-4ac<0．为假否命题：若二次函数y=ax²

+bx+c中，b²-4ac≥0，则该二次函数图象与x轴没有公共点．为假逆否命题：若二次函数y=ax²+bx+c的图

象与x轴没有公共点，则b²-4ac≥0，为假

　　反思回顾：

　1．写出一个命题的逆命题、否命题及逆否命题的关键是分清原命题的条件和结论，然后按定义来写．

　2．在判断原命题及其逆命题，否命题以及逆否命题的真假时，要借助原命题与其逆否命题同真或同假，

逆命题与否命题同真或同假．

第三阶梯

　例1．求证：在一个三角形内不可能有两个角是直角

　　已知：在△ABC中

　　求证：不可能有A=90°，B=90°

　　证明：假设有可能A=90°，B=90°则A+B+C=90°+90°+C>180°

　　这与A+B+C=180°矛盾　　∴假设错误，故三角形内不可能有两个角是直角．

　　反思回顾：这是采用否定叙述的命题，直接证明困难，不等式对于我们来说就不如等式问题容易理解和

运用，因此，用反证法把不等式问题转化为等式问题，从而问题得证

　分析：假设弦AB、CD被P平分，连结OP后，可推出AB、CD都与OP垂直，则出现矛盾．

　证明：假设弦AB、CD被P平分，由于P点一定不是圆心O，连结OP，根据垂径定理的推论，有OP⊥AB，

OP⊥CD，即过点P有两条直线与OP都垂直，这与垂线性质矛盾．所以，弦AB、CD不被P平分．

课后检测

A组

1、判断下列命题的真假

　①3≥3；

　②100或50是10的倍数；

　③有两个角是锐角的三角形是锐角三角形；

　④等腰三角形至少有两个内角相等．

2、把下列命题改写成“若p则q”的形式

　①对顶角相等

　②平行四边形的对角线相交于一点且互相平分

　③偶数能被2整除

　④二次方程ax²+bx+c=0（a≠0），若判别式△>0，则方程有两个不等实根．

3. 判断下列各题的真假，真填T，假填F

　①矩形的对角线互相平分（）；

　②0是最小的自然数（）；

　③0既不是奇数，也不是偶数（）；

　④三角形内角和等于180°（）；　

4、选择题

　①a²-2ab+b²=0是a=b的（　）

　　A．充分条件 B．必要条件　C．充要条件 D．非充分非必要条件

　②x²=3x+4是的（　）

　　A．充分条件 B．必要条件　C．充要条件 D．非充分非必要条件

　③“在△ABC中，a²+b²=c²”是“△ABC为以C为斜边的直角三角形”的（　）

　　A．充分条件 B．必要条件　C．充要条件 D．非充分非必要条件　　

答案：

　1、解：①真　②真　　③假，必须三个内角都是锐角　④真．

　2、解：①若两个角是对顶角，则这两个角相等．

　　②若四边形是平行四边形，则其对角线交于一点且互相平分．

　　③若一个数是偶数，则这个数能被2整除．

　　④若二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的判别式△>0，则该方程有两个不等实根．

　3、解：①T　　　②T　　　③F　　　④T 　　

　4、解：①C　　　②B　　　　③C

B组

　1．a>b是a³>b³的（）　

　　A．充分条件　　　　　　　　　　　　 B．必要条件