高三数学综合练习D卷
一、选择题：本大题12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合A、B，全集∪，给出下列四个命题
⑴若
，则
； ⑵若，则
；
⑶若
，则
; ⑷若
，则
则上述正确命题的个数为
A．1 B．2 C．3 D．4
2．设非零向量
、
、
，若
，那么
的取值范围为
A．[0，1] B．[0，2] C．[0，3] D．[1，2]
3．设等差数列
的前
项和为
，当
、
变化时，若
是一个定值，那么下列各数中也为定值的是
A．
B．
C．
D．
4．设
，
，则满足条件
，
的动点P的变化范围（图中阴影部分含边界）是
 |
A B C D
5．在斜三角形ABC中，
且
，则∠A的值为
A．
B．
C．
D．
6．设两个非零向量
不共线，若
与
也不共线，则实数k的取值范围为
A．
B．
C．
D．
7．设A、B、C、D是半径为2的球面上四个不同的点，且满足
，
，
，则
的最大值为
A．16 B．8 C．4 D．2
8．由方程
确定的函数
在R上是
A．奇函数 B．偶函数 C．增函数 D．减函数
9．已知函数
在
时有极值，其图象在点
处的切线与直线
平行，则函数
的单调减区间为
A．（－∞，0） B．（0，2）
C．（2，+∞） D．（－∞，+∞）
10．定义在R上的函数对任意的x都有
和
且
，则
的值为
A．2002 B．2003 C．2004 D．2005
11．分别把写有0，1，2，3，4数字的四张纸片放入一盒中，每次取一张记数字为m，放回后再取一张记数字为n，设P（m,n）为平面中的点，则点
的概率为
A．
B．
C．
D．
12．下列三图中的多边形均为正多边形，M，N是所在边的中点，双曲线均以图中的F1，F2为焦点，设图示①②③中的双曲线的离心率分别为e1,e2,e3．
 | |||||||
 | |||||||
| | ||||||
 | |||||||||||
 | | ||||||||||
| |||||||||||
| |||||||||||
| |||||||||||
① ② ③
则e1、e2、e3的大小关系为
A．e1>e2>e3 B．e1<e2<e3 C．e2= e3 <e1 D．e1= e3>e2
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．
13．在
的展开式中，含
的系数为
．
14．若
，且
，
，则
=
．
15．一个公司有N个员工，下设一些部门，现采用分层抽样方法从全体员工中抽取一个容量为n的样本（N是n的倍数），已知某部门被抽取m个员工，那么这个部门的员工数为 ．
16．如右图，在杨辉三角形中，从上
往下数共有n(n∈N*)行，在这些数中非1的
数字之和为
三、解答题：本大题共6小题，共74分．
17．（本题满分12分）
已知函数的图象关于直线
对称，当
且
时，求
的值．
18．（本题满分12分）
某种工作元件有3个，它能正常工作的概率均为0.6，请设计成一个工作系统，使该系统正常工作的概率不低于0.7（要求画出系统图，并计算正常工作的概率）
 |
19．（本题满分12分）
设函数
，不等式
的解集为（－1，2）
（Ⅰ）判断
的单调性，并用定义证明；
（Ⅱ）解不等式
．
20．（本题满分12分）
如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AC=BC=
，
AA1=1，∠ACB=90°．
（Ⅰ）求异面直线A1B与CB1所成角的大小；
（Ⅱ）问：在A1B1边上是否存在一点Q，使
得平面QBC与平面A1BC所成的角为30°，若存在，请求点Q的位置，若不存在，请说明理由．
21．（本题满分12分）
设
，
为直角坐标平面内x轴．y轴正方向上的单位向量，若
，且
（Ⅰ）求动点M(x,y)的轨迹C的方程；
（Ⅱ）设曲线C上两点A．B，满足(1)直线AB过点（0，3），(2)若
，则OAPB为矩形，试求AB方程．
22．（本题满分14分）
直线
与x轴．y 轴所围成区域内部（不包括边界）的整点个数为
，所围成区域内部（包括边界）的整点个数为
，（整点就是横坐标，纵坐标都为整数的点）
（Ⅰ）求
和
的值；
（Ⅱ）求及的表达式；
（Ⅲ）对个整点用红．黄．蓝．白四色之一着色，其方法总
数为An，对个整点用红．黄．两色之一着色，其方法总数为Bn，试比较An与Bn的大小．
参考答案
一、选择题
1．B 2．C 3．C 4．A 5．A 6．D
7．B 8．D 9．B 10．D 11．D 12．C
二、填空题
13．135 14．
15．
16．
三、解答题
17．解：∵
，得
……………2（分）
又∵
……4（分）
∴
………………………………8（分）
由题意
关于直线
对称
∴
…………………………………………10（分）
即
…………………12（分）
18．解法一：利用2个工作元件，系统图 …………6（分）
设工作系统为N，工作元件A．B独立
则系统正常工作的概率
……………………12（分）
（或
）
解法二：利用3个工作元件，系统图
…………6（分）
设工作系统为N，工作元件A=B．C独立
则系统正常工作的概率为
………………12（分）
解法三：利用3个工作元件，系统图
………6（分）
 |  |
设工作系统为N，工作元件A．B．C独立
则系统正常工作的概率为
………………12（分）
19．解：∵
得
又∵
的解集为（－1，2）
∴
得b=2……………………………………2（分）
（Ⅰ）函数
在
上为增函数…………4（分）
证明：设
则
∵ ∴
∴
即
∴函数在
上为增函数………………6（分）
（Ⅱ）由
得
……………………8（分）
①当
，即
时，
②当
，即
时，无解
③当
，即
时，
∴当时，解集为
当时，解集为空集
当时，解集为
…………………………12（分）
20．建立如示空间直角坐标系，则
异面直线A1B与CB1所成的角为
………………6（分）
（Ⅱ）答：存在这样的点Q，使得面QBC与面A1BC成30°角．
解：∵是直三棱柱，又∠ACB=90°，∴BC⊥CA1，BC⊥CC1
∴∠A1CC1是二面角A1－BC－C1所成的平面角
在RtΔA1C1C中，∠A1CC1=60°……………………………8（分）
在A1B1边上取一点Q，在平面A1B1C1中作QP∥B1C1，交A1C1于P，连PC
过证P．Q．B．C共面
∴∠A1CP就是Q—BC—A1的平面角为30°…………………10（分）
∵30°<60°，故有在点P，在角A1CC1的平分线上
在RtΔPC1C中，可得
又A1B1=
，由相似比可得，Q在距点A
处（或距B1点
处）……12（分）
21．（Ⅰ）解：令
则
即
即
又∵
∴
……………………3（分）
所求轨迹方程为
…………………………………………6（分）
（Ⅱ）解：由条件（2）可知OAB不共线，故直线AB的斜率存在
设AB方程为
则
………………………8（分）
∵OAPB为矩形，∴OA⊥OB 
……………………10（分）
∴
得
所求直线方程为
……………………………12（分）
22．（Ⅰ）解：n=3时，直线x=0上有（0，0）（0，1）（0，2）（0，3）个点，直线x=1上有（1，0）（1，1）（1，2），直线x=2上有（2，0）（2，1），直线x=3上有（3，0）
所以
……………………………4（分）
（Ⅱ）解：n=1时，b1=3, a1=0
n=2时，b1=6, a2=0
当n≥3时，
当n=1．2时也满足
所以
……………9（分）
（Ⅲ）对于个整点中的每一个点都有4种着色方法，故
对于个整点中的每一个点都有2种着色方法，故
……11（分）
当n=1．2．3．4．5．6．7．8时
当n≥9且n∈N*时，
…………………………………14（分）