高三一模适应性考试数学试卷
姓名 得分
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1． 已知集合
，
，则集合
的非空真子集的个数为 （ ）
A．14 B．15 C．4 D．16
2．条件“
”是条件“
”的 （ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
3．已知向量
与
同向，则下列等式成立的是 （ ）
A．
B．
C．
D．
4．设m，n是不重合的两直线，α，β是不重合的两个平面，给出下列命题
（1）若n∥α，α⊥β，则n⊥β （2）若m⊥n，n⊥α，m⊥β，则α⊥β
（3）若n⊥α，α⊥β，m
β，则m∥n （4）若n⊥β，α⊥β，则n∥α或nα
其中正确命题的序号是 （ ）
A．（1）（4） B．（2）（4） C．（2）（3） D．（3）（4）
5．在等差数列
中，若
，则
的值为 （ ）
A．14 B．15 C．16 D．17
6．已知函数f(x)=2x的反函数为f－1(x)，若f－1(a)+ f－1(b)=4，则
最小值为 （ ）
A．1 B．
C．
D．
7．已知曲线f(x)=xn（n为正偶数，a,x∈R），若
，则以a－a为半径的球的表面积是（ ）
A．16π B．8π C．π D．8
π
8．若函数
的图象和
的图象关于点
对称,则
的表达式是（ ）
A．
B．
C．
D．
9．过函数
的图象的对称中心，且与抛物线
有且只有一个公共点的直线的条数共有 （ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．不存在
10．设
是曲线
上的点，
，
，则 （ ）
A．
B．
C．
D．
11．已知函数具有如下性质：①若
，则
；②若
，则点
与点
连线的斜率大于
；那么下列具有已知函数性质的是 （ ）
A．
B．
C．
D．
12．设
为双曲线
右支上异于顶点的任意一点，
、
为两个焦点，则
的内心
的轨迹方程是 （ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上）
13．
的展开式中，含
项的系数为_________________
14．设集合A={1，2，3，4，5，6}，映射
满足
，则这种映射
的个数为（用数字作答）_________________；
15．在棱长为1的正方体
中，
、
分别为
和
的中点，则点
到
平面
的距离为
；
16．设是定义在
上的奇函数,且
,给出下列四个结论:
①
； ②是以4为周期的函数；
③的图象关于
轴对称； ④
。
其中正确命题的序号是__ .
三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答应有证明过程或演算步骤）
17．已知A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα） （1）若
，求sin2α的值；
（2）若
，且α∈(0,π)，求
与
的夹角。
18．平面上有两个质点A、B分别位于
，（
，在某一时刻同时开始每隔一秒钟向上下左右任一方向移动1个单位，已知质点A向左、右移动的概率都是，向上、下移动的概率分别是和
，质点B向各个方向移动的概率都是。求：（1）点A经过2秒钟到达点
的概率；（2）A、B经过3秒钟，同时到达点
的概率。
19．如图，直三棱柱
中，底面是以
为直角的等腰三角形
，
，
为
的中点，为
的中点，
（1）求直线
与
所成的角；
（2）在线段
上取一点，使
，求证：
⊥平面
；
（3）求平面与平面
所成的锐二面角的大小。
20．已知数列
，其中
，数列
的前
项和
（1）求数列的通项公式； （2）求数列的通项公式；（3）数列
的前项和
。
21．设
、分别为三角形
的重心与外心，
、
，且
∥
。
（1）求点
的轨迹的方程；（2）已知点
，是否存在直线
，使过点
并与曲线交于、
两点，使
为锐角或直角，若存在,求出直线的斜率
的取值范围,若不存在,说明理由.
22．已知
（1）若同时满足下列条件：①
；②当
时，有
；③
在
上的最大值为2。（I）求证：
（II）求的解析式；
（2）若
，在[－2，2]上的最大值为
，最小值为
，求证：
高三一模适应性考试数学试卷评分标准
一、选择题
AADBC BBBBC BA
二、填空题
；4320；；①②④
三、解答题
17、⑴
由
得：
……………………4分
平方移项得：
……………………6分
⑵
，
…………………9分
……………………11分
所以
与
的夹角为
…………………12分
18、⑴解：
分别表示点
向上、下、左、右移动的概率，点要在2秒内到达点，只能是一秒向上移动，一秒向右移动。所以点经过2秒到达点的路线对应“上右”或“右上”两种情况。故所求概率为：
……6分
⑵仿⑴可知，经过3秒点到达点的路线对应于“上、上、右”的一个排列，
所以经过3秒后点到达点的概率为：
……………………8分
经过3秒点到达点的路线对应于“右、上、下”和“右、左、右”的一个排列
所以经过3秒后点到达点的概率为：
（11分）
又因为上述两事件为独立事件，
所以所求概率为：
………………………12分
19、（1）以点为坐标原点，建立如图的空间直角坐标系，
∵
，∴
，
从而
，
∴
………………………2分
∴
，
∴
…………………………4分
∴直线与所成的角为
（2）由条件知：
∴
，
，
，………6分
∴
，∴⊥平面
………8分
（3）由上知，平面的法向量为
平面的法向量为
，
…………10分
∴
…………11分
∴求平面与平面所成的锐二面角为
…………12分
20、（1）由条件可得：
累乘得 
……………………………………4分
（2）∵
，∴
………………………………6分
而
当
时，
，显然
时也适合；
∴
………………………………8分
（不写扣1分）
（3）
时，
，即有时，
…………………………10分
时，
故 
………………………12分
21、（1）设
则
，设外心为
，
∥，∴
……2分
由
得，
化简整理得轨迹的方程为：
………4分
（2）设：
，
、
联立
，消去得：
，
∴
………6分
又
，
，而为锐角或直角的充要条件为
，即：
而
＝
∴
，∴
………11分
又∵
时，直线过点
不合题意，舍去。
∴存在直线使为锐角或直角且直线的斜率的取值范围是
――12分
22、（1）①∵
，且
时的最大值是2
∴
，即 ………3分
②∵时，，∴
即
（＊）
由（1）知代入（＊）式可得
且
，
∴
，
………6分
又
，∴在
处取得最小值，且
∴的对称轴为轴，从而
，
，∴
………8分
（2）若
则
此时
，∴在
上的最大值为
，最小值为
，∴
这是不可能的，∴
………10分
若，假设
，则对称轴
在外，∴在上是单调函数
∴
，
，同样有，这不可能，
假设不存立，∴，综上知