高考第一次模拟测试题数学
本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分。第I卷1至3页，第Ⅱ卷4至10页。共150分。考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
注意事项：
1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上。
参考公式：
如果事件A、B互斥，那么 球的表面积公式
P（A+B）=P（A）+P（B）
其中R表示球的半径
如果事件A、B相互独立，那么 球的体积公式
P（A·B）=P（A）·P（B） 
其中R表示球的半径
如果事件A在一次试验中发生的概率是P. 那么n次独立重复试验中恰好发生k次的
概率 
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1． 函数
存在反函数的充要条件是（ ）
(A) 
(B)
(C)
(D) 
2． 如图：在平行六面体
中，
为
与
的交点。若
，
，
，则下列向量中与
相等的向量是（ ）
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
3．设y=8x2－lnx，则此函数在区间 (0,
) 和 (
,1)内分别为（ ）
(A) 单调递增，单调递减 (B) 单调递增，单调递增
(C) 单调递减，单调递增 (D) 单调递减，单调递减
4．已知集合
，且
，则
的取值范围是（ ）
(A) 
(B) 
(C)
(D)
5．已知椭圆：
（
）的左、右焦点分别为
、
，以为顶点，为焦点的抛物线经过椭圆短轴的两端点，则椭圆的离心率为（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
6．个好朋友一起去一家公司应聘，公司人事主管通知他们面试时间的时候说：“我们公司要从面试的人中招3个人，你们同时被招聘进来的概率是
”。根据他的话可推断去面试的人有（ ）个.
(A) 70 (B) 21 (C) 42 (D) 35
7. 
(
)
(A) 
(B) 0 (C) 
(D) 
8．若函数
则
的一个可能的值是（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
9．如图：在棱长都相等的四面体
中，
、
分别
为棱
、
的中点，连接
、
，则直线、所
成角的余弦值为（ ）
（A） （B）
（C）
（D）
10．设、为曲线
： 
的焦点，
是曲线
：
与的一个交点，则
的值为（ ）
（A）
（B） （C） （D）
11．由等式 x4 + a1 x3 + a2 x2 + a3 x + a4= (x+1)4 + b1 (x+1)3 + b2 (x+1)2 + b3 (x+1) + b4, 定义
映射f:(a1,a2,a3,a4)→(b1,b2,b3,b4), 则 f (4,3,2,1) 等于( )
（A）(1,2,3,4) （B）（0,3,4,0） (C)（,0,2,
） (D)（0,
,4,）
12．某伞厂所生产的伞品种齐全，其中品牌为“太阳伞”的伞的伞蓬都由太阳光的七种颜色组成，这七种颜色分别涂在伞蓬的八个区域内，且恰有一种颜色涂在相对的区域内，则不同颜色图案的此类太阳伞至多有（
）种.
(A) 40320 (B) 5040
(C) 20160 (D) 2520
高考第一次模拟测试题
数 学
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
注意事项：
1．第 Ⅱ 卷共7页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题中。
2．答卷前将密封线内的项目填写清楚。
二、填空题（本大题每小题4分，共16分。）
13．在坐标平面内，由不等式组
所确定的平面区域的面积为 _________ .
14．过点
的直线
将圆：
分成两段弧，当其中的劣弧最短时，直线的方程为 _______ .
15．球面上有三点
、
、
组成球的内接三角形，若
，
，
。且球心到
所在的平面的距离等于球的半径的，那么这个球的球面面积为 ______ .
16．正项等比数列｛an｝满足a2·a4=81, S3=13, bn=log3an则
____
.
三、解答题：（本大题共6小题，共74分）
17．（本小题满分12分）
四边形ABCD中，BD是它的一条对角线，且
，
求数量积
的值.
 |
18．（本小题满分12分）
已知
，又数列{
}(＞0) 中，
，这数列的前n项和
对所有大于1的自然数n都有
，求通项公式，并写出推导过程.
19．（本小题满分12分）
如图：直三棱柱
中，
，
。为
的中点，
点在
上且
.
（Ⅰ）求证：
；
（Ⅱ）求二面角
的大小.
20．（本小题满分12分）
甲，乙两射击运动员进行射击比赛，射击相同的次数，已知两运动员射击的环数
稳定在7，8，9，10环。他们的这次成绩画成频率直方分布图如下：
击中频率 击中频率
7 8 9 10 击中环数 7 8 9 10 击中环数
甲 乙
（Ⅰ）根据这次比赛的成绩频率直方分布图推断乙击中8环的概率
， 以及求甲，乙同时击中9环以上（包括9环）的概率；
（Ⅱ）根据这次比赛的成绩估计甲，乙谁的水平更高（即平均每次射击的环数谁大）.
21．（本小题满分12分）
在平面直角坐标系中，
为坐标原点，已知两点
、
，若点满足
（
），点的轨迹与抛物线：
交于 、两点.
（Ⅰ）求证：
⊥
；
（Ⅱ）在
轴上是否存在一点
，使得过点任作抛物线的一条弦，并以该弦为直径的圆都过原点。若存在，请求出
的值及圆心的轨迹方程；若不存在，请说明理由.
22．（本小题满分14分）
已知函数
在
上的最小值是
(Ⅰ) 求
；
(Ⅱ) 若
,试比较 
与
的大小；
(Ⅲ) 在点列 
,
,
……
中, 是否存在三点,使得以这三
点为顶点的三角形是直角三角形? 若存在, 求出所有这样的三角形的顶点坐标;若不存在,请说明理由
韶关市2004年高考第一次模拟测试题
数学试题参考答案及评分标准
一、 选择题
(1) A (2) A (3) C (4) A (5) C (6) B (7) A (8) A (9) C (10) B (11) D (12) D
二、 填空题
(13) 16 (14) 
(15) 
(16) 
三、 解答题
（17）解：
|
………………………2分
由
得 
……………………………………….…4分
∵
∴ AD∥BC …………………………………..………….6分
∴
从而 
………………………..…………8分
∴
. ………………12分
另解：
.
（18）解：∵ ＞0 ∴ 
……..……………………….4分
猜想 
. 下面用数学归纳法证明
（1）当
时，由上知结论成立
（2）假设当
时，结论成立，即
……………………5分
那么，
∴ 当
时，结论也成立. ……………………………………9分
由（1）（2），对一切不为零的自然数
，都有. ……………10分
则 
，当时，
，与题设相符
故数列{}的通项公式 
.
……………………………………12分
（19）解：1）证：依题意知
，
且
为的中点，则 也为中点
∴
……………………………………………..3分
又∵三棱柱为直三棱柱
∴
又 
且 
、
故 . ……………………………………………6分
2）解：由1）知，在
中过作
交
于，
连
，由三垂线定理有
为所求二面角得平面角 ………...8分
易知
，在
中，
，，
故
在
中 
故所求二面角的大小为
. ………………………………………12分
（20）解（1）由图可知
，
，
所以=1—0.2—0.2—0.35=0.25
2分
同理
， 
，
所以
因为
4分
所以甲，乙同时击中9环以上（包括9环）的概率
P=
=0.65×0.55=0.3575 .
8分
(2)
因为
=7×0.2+8×0.15+9×0.3+10×0.35=8.8
=7×0.2+8×0.25+9×0.2+10×0.35=8.7
> 所以估计甲的水平更高.
12分
（21）解：1）解：由（）知点的轨迹是、
两点所在的直线，故 点的轨迹方程是：
即
………… ….2分
由
∴
∴
∴
故 ⊥. ……………………………………6分
2）解：存在点
，使得过点任作抛物线的一条弦，以该弦为直径的圆都过原点
由题意知：弦所在的直线的斜率不为零 …………………………………7分
故 设弦所在的直线方程为：
代入 
得 
∴ 
∴
故以为直径的圆都过原点 …………………………..10分
设弦的中点为
则
∴弦的中点的轨迹方程为：
消去
得 
. ……………………12分
（22）解(1)由
令
, ………………………………………….3分
当
时,
,故
在
上递减;
当
时,
,故在
上递增;
在上,当
时,取得最小值
即: 
. ………………………………………………6分
(2)由
又
故:
而函数
在
上是减函数,故: <. ……………………10分
(3)假设存在三点
,
,
,使⊿ABC是直角三角形.
不妨设:
,则
+
－
=
=
故不存在三点,使以这三点为顶点的三角形为直角三角形. ………………14分