高考适应性考试数学试卷
姓名
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合
，
，则
、
的关系为 ( )
A．
B．
C．
D．
2．一个容量为20的样本，数据的分组及各组的频数如下表：
| 分/组 |
|
|
|
|
|
|
| 频数 | 2 |
| 3 |
| 2 | 4 |
则样本在区间
上的频率为（其中
） ( )
A．0.5 B. 0.7 C. 0.25 D. 0.05
3．从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是 ( )
A．至少有1个白球，都是白球 B．至少有1个白球，至少有1个红球
C．恰有1个白球，恰有2个白球 D．至少有1个白球，都是红球
4．由约束条件
所确定的区域面积为
，记
，则
( )
A．
B．
C．
D．
5．已知双曲线
和椭圆
的离心率互为倒数，那么以
为边的三角形一定是 ( )
A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形
6．设一个正多面体的面数为F，顶点数为V，若F+V=8，且它的各条棱长都等于4，则这多面体的外接球的球面面积是 ( )
A．12
B．24 C．16 D．28
7．下列判断中错误的个数是 ( )
（1）命题“若
则
”与命题“若
则
”互为逆否命题；
（2）“
”是“
”的充要条件；
（3）在
中，若
，则
；
（4）命题“
”为真命题
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，沿对角线BD将△ABD折起，使A点在平面
BCD内的射影落在BC边上，若二面角C—AB—D的平面
角大小为θ，则
的值等于 ( )
A．
B．
C．
D．
9.已知
，函数
的图象按向量
平移得到的图象，恰与直线
相切于点
，则
的解析式为 ( )
A．
B．
C．
D．
10. 函数
的图象如图所示，则
的值一定 ( )
A. 等于0 B.大于0 C.小于0 D.小于或等于
11、如图,在杨辉三角中,斜线
的上方,从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1,3,3,4,6,5,10,……，记其前
项和为
,则
等于 ( )
A．129 B．172 C．228 D．283
12.2003年12月，全世界爆发＂禽流感＂，科学家经过深入的研究，终于发现了一种细菌M在杀死＂禽流感＂病毒N的同时能够自身复制．已知１个细菌MD在杀死１个病毒N后，变成了２个细菌M，那么１个细菌M和2047个＂禽流感＂病毒N最多可生成细菌M的数值是( )
A．1024 B．2047 C．2048 D．2049
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上）
13．过点
和曲线
(
)相切的直线与
平行，则此直线方程为
14．已知数列
的通项公式为
，则在
的展开式中，含
的项的系数是数列中的第 项。
15．已知
，则
的最小值为 。
16．点P是双曲线
和圆
的一个交点，且
，其中
是双曲线
的两个焦点，则双曲线的离心率为 。
三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（12分）已知锐角△ABC中，三个内角为A、B、C，两向量
，
是共线向量。
（I）求∠A的大小；（II）求函数y=2sin2B+cos(
)取最大值时，∠B的大小
18．（12分）现有10条活鱼养在一水池中，其中有6条鲫鱼，4条鲤鱼，某人每天随机从水池中取出3条鱼进行观察，
（1）若此人将3条鱼一次取出，求取出的3条鱼中两种鱼均出现的概率；
（2）若此人将3条鱼分三次取出，每次取出一条鱼观察后又放回水池中，求第二次、第三次均取到鲤鱼的概率。
19．（12分）如图，已知斜三棱柱ABC—A1B1C1的侧面A1ACC1与底面ABC垂直，∠ABC=90°，BC=2，AC=
，且AA1⊥A1C，AA1=A1C.
（1）求侧面A1ABB1与底面ABC所成二面角的大小；
（2）求顶点C到侧面A1ABB1的距离；
（3）求异面直线
与
所成的角。
20．（12分）已知函数
的图象过点
，且在
处的切线方程为
（1）求
的解析式；（2）若在
上有最小值
，求实数
的取值范围。
21．（12分）已知抛物线
的焦点为
，准线为，过上一点作抛物线的两条切线，切点分别为
，现某学习小组在研究讨论中提出如下三个猜想：
（1）直线
恒成立；
（2）直线
恒过定点；
（3）等式
中的
恒为常数。请你一一进行验证。
22．（14分）设、
为两个数列,记
(
)
(1)求证:
(2)设数列
满足
,
,①求证:
,(
)；
②
高考适应性考试
数学试卷评分标准
一、 选择题
| 题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| 答案 | C | B | C | A | D | B | B | A | C | B | D | C |
二、 填空题
| 题号 | 13 | 14 | 15 | 16 |
| 答案 |
| 11 | 16 |
|
三、 解答题
17、解：(1)
=(2－2sinA,cosA+sinA)，
=(sinA－cosA,1+sinA)，
∵//∴（2－2sinA）(1+sinA)－(cosA+sinA)(sinA－cosA)=0;―――――2分
化简得：
―――――――――――――――――――――――――3分
∵△ABC为锐角三角形，sinA=
∴A=60° ――――――――――――――6分
（2）y=2sin2B+cos(
)=2sin2B+cos(
)=2sin2B+cos(2B－60°)
=1－cos2B+cos(2B－60°) =1+sin(2B－30°)―――――――――――――――10分
当B=60°时取最大值2―――――――――――――――――――――――――12分
18、解：(1)记“一次取出3条鱼，其中两种鱼均出现”为事件A,――――――――2分
则
――――――――――――――――――――――6分
（2）记“每次取出鱼后放回，在三次取鱼中，第二次、第三次均取到鲤鱼”为事件B，“每次取出鱼后放回，第一次取到鲫鱼，第二次、第三次均取到鲤鱼”为事件B1，“每次取出鱼后放回，三次均取到鲤鱼”为事件B2，则
，
－10分
∴
―――――――――――――――――――12分
19、（1）取AC中点D连A1D，则易知A1D
底面
，取AB中点E，连
，可得DE//BC且DE
BC，∴DE⊥AB，由三垂线定理可得A1E⊥AB，∴∠A1ED为侧面A1ABB1与底面ABC的所成二面角的平面角
∵A1D=
DE=1 ∴∠A1ED=60°，面A1ABB1与底面ABC的所成二面角为60°―4分
（2）设C到侧面A1ABB1的距离为h，∵
又∵
即顶点C到侧面A1ABB1的距离为
.－8分
（3）取
点为坐标原点，过点垂直于
的直线为
轴，为
轴，
为
轴建立空间直角坐标系。易得：
、
、
、
，∴
，
，
∴
∴异面直线与所成的角为
――――――――――――――12分
20、解：∵
，∴
又
， ∴
，
，∴
∴
―――――――――――――――――――――――――4分
（2）∵
，∴当
时，
，
时，
，∴在
上单调减，在
上单调增。――――――――6分
又∵
，所以
①当
时，在上单调减，故
，故不合题意―――――――――――――――――――――――――――9分
②当
时，
，适合题意。
综上可得，实数的取值范围为：―――――――――――――――――12分
21、（1）由
，对其求导得：
，
设
，则直线
的斜率分别为
，
∴直线
的方程为
，即
，
同理：直线
的方程为
，
∴可解得点的坐标为
，
又点在准线
上，∴
，即
，
∵
，∴，猜想（1）成立。――――――――――4分
（另解：设
，则点在直线上，∴
，∴
是方程
的两根，故，∴，∴，猜想（1）成立）
（2）直线的斜率
，
∴直线的方程为
，又，∴
，
显然直线过焦点
，猜想（2）成立。―――――――――――――8分
（3）
，
，
∴
，
又
，
∴
，
所以
恒成立，为常数
。―――――――――――――――12分
22、（Ⅰ）证明：
=
┈┈┈┈2分
=
=
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈5分
（Ⅱ）（1）在个数
中，设正数之和为A，负数之和为B，则A+B=0，A-B=1，∴
，
，┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈7分
所以，
，即
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈9分
（2）由题意，
，又由题（Ⅰ）知：
┈┈11分
，∴
┈┈┈┈┈┈┈14分
（2）证法2 设中，正数集为M，负数集为N，则
┈┈┈┈┈┈┈11分
又
┈┈┈┈┈┈┈13分
∴
，即┈┈┈┈┈┈┈14分