高考数学考前查漏补缺

高考数学考前查漏补缺

一. 本周教学内容：

　　考前查漏补缺

二. 重点知识回顾

　　从近几年高考试题的革新看，有以下几个特点：（1）题量适当减少，尤其是选择题的个数在减少，今年北京卷的高考试题中调整为8个，但填空题由原来的4个增加至6个；（2）试卷结构更趋合理，通过改革题量及题型，既能更好地考查学生的知识水平，解题能力，又能给学生更多的思维时间和空间，更好地展现学生的思维水平；（3）试题的命制更具综合性与灵活性、新颖性，由于题量的减少，而又要考查的全面，就必然加强知识方法运用的综合性，这符合考试大纲中的“在知识网络的交汇处”命题的原则。此外，近几年的试题中加强了数学的应用意识（每年都会设置一道大的应用题），也在不断探索编制一些情境新颖，或能体现中等数学与高等数学的衔接的一些问题。

　　从试题的以上特点，不难得出我们的复习策略：

　　（1）不必猜题、押题，这样做无疑既耗费精力又容易造成复习的不全面；

　　（2）重视基础知识与方法的全面复习，争取以点带面；

　　（3）树立整张试卷一盘棋的思想意识，要获取最后的胜利，就需要全局考虑，争取“能得分处多得分，难得分处要争分”；

　　（4）考前的近半个月可做“温故”工作，即把一模，二模的试题重新检阅，以试题带动重点知识与方法的复习。

　　近些年的高考试题，对知识的考查既全面又突出重点，对课本中的重点知识与解题方法保持了较高的比例与深度，此外，在考查思维能力的同时，也兼顾考查学生的其他能力，如审题、分析能力，合理表述的能力，等等。常见的问题有：①审题不慎；②计算不准；③表述不当；④时间安排不合理。这些问题往往是导致失分的主要原因，不可不引起大家的重视。

　　高考试卷中重点考查的知识有哪些呢？不妨做一简略回顾。

（一）函数：定义域、值域、解析式、判断或证明函数的单调性、奇偶性、反函数、最值、图象。

（二）不等式：解不等式、证明不等式（常用比较法、数学归纳法）

（三）数列：两种基本数列（等差数列与等比数列），递推关系式、极限、数学归纳法证明、求和。

（四）三角：正、余弦定理，三角恒等变形、（公式熟、准）、三角函数图象性质、解三角形。

（五）复数：基本的运算、加减法的几何意义。

（六）立体几何：有关直线、平面的位置关系的定理（要熟练），证明直线与平面的平行与垂直，计算空间的角（异面直线成角、线面角、二面角）与距离（点线、点面、线面、面面距离），以及计算多面体或旋转体的表面积、体积。

（七）解析几何：直线方程（包括斜率、倾斜角），点到直线的距离，圆锥曲线的方程、性质，直线与圆锥曲线的位置关系，参数方程与极坐标方程（掌握互化公式是解此类题的通法）

（八）排列组合：两个原理（加法原理、乘法原理）的应用。

【典型例题】

  例1.

　　分析与解：

　　显然，这是解对数不等式，方法是化为同底型对数不等式，需要注意的是勿忘“真数>0”。解题时，建议运用等价转化的格式，以使得解题步骤清晰、明朗、简捷；此外，由于要运用对数函数单调性转化不等式，故还需对底数a分类讨论，但不宜太早地分类。

　　解：

　　

　　

　　

　　

　　

　　　　　

　　注：解不等式需熟练掌握，它是研究其他问题的重要工具，如求函数定义域、值域，求参数的取值范围等等，也是高考的重点考查内容。

  例2. △ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且满足

　　

　　（I）求角B的度数；

　　

　　分析与解：

　　（I）已知等式中含有角A、B、C，所求者为角B，故需把角A、C用B表示出来，转化为只含角B的三角方程，由此可求得角B。

　　（II）已知a+c=3，欲求a，c，只需再建立一个以a、c为未知数的方程，然后与a+c=3联立，既可求a，b的值，注意到由（I）可知角B大小，由余弦定理，可得到a，c的方程。

　　解：

　　

　　

　　

　　

　　

　　

　　

　　

　　

　  注：对三角恒等变形能力的考查通常与解三角形相综合，一方面体现了三角恒等变形的工具性，另一方面，也体现了知识的综合性，需熟练掌握，此外，对三角形恒等变形能力的考查，往往也结合三角函数的性质。例如：

　　

其最小正周期为π。

　　（I）求实数a，ω的值；

　  

　　答案：（I）a=1，ω=1；

　　

  例3.

　　（I）求{a_n}的通项公式；

　　

　　

　　分析与解：

　　 这是一道有关数列的基本题，已知条件明确指明{a_n}是等差数列，欲求其通项公式，只需由a₂=1及S₁₁=33，解出首项a₁及公差d即可；而欲证{b_n}是等比数列，只需根据等比

　  解：（I）设{a_n}公差为d，首项为a₁，则

　　

　　

　　（II）对任意自然数n，

　　

　　

　　注：本题不难，但却考查了有关数列的若干重要概念、公式，在考前的复习中，应再多做些此类习题，提高解题的速度与准确。此外，对数列的考查还经常以递推公式为背景考查归纳、探索能力，也常常把数列与函数知识综合考查。

　　例如：

　　

　　

　　

{a_n}是否为等差数列？请对你的结论给予证明。

　　答案：

　　

  例4.

　　（I）求复数Z；

　　（II）指出点B的轨迹；

　　

　　分析与解：

　　

　　解：

　　　　

　

　　

　　

　　

　　

　　

　　注：复数的运算是高考考查的重点，其几何意义则是另一重点，需正确理解，复数与复平面内点之间的对应关系，复数与向量的对应关系，以及向量的加减运算法则——平行四边形法则及三角形法则。

  例5. 如图，棱长为1的正方形ABCD—A₁B₁C₁D₁中，E是CC₁的中点，

　　（I）求证：平面B₁DE⊥平面B₁BD；

　　（II）求二面角B—B₁E—D的余弦值；

　　（III）求点B₁到平面BDE的距离。

　　分析：（I）欲证平面B₁DE⊥平面B₁BD，就需根据面面垂直的判定定理，先证线面垂直，尝试发现，图中已有直线皆不合要求，需添加此直线，注意到EB₁=ED（等腰三角形），取B₁D中点M，则EM⊥B₁D，再继证EM⊥BD即可。

　　（II）由（I）之证明及三垂线定理，可构造二面角的平面角。

　　（III）点B₁到平面BDE的距离可看作三棱锥B₁—BDE的面BDE上的高，只需利用“等体积法”求该距离。

　　（I）证明：取B₁D的中点M，连结EM

　　∵△EB₁D中，EB₁=ED，∴△EB₁D为等腰三角形

　　∴EM⊥B₁D，注意到点M也是AC₁的中点，

　　△C₁AC中，E、M分别为两边C₁C，C₁A的中点，

　　∴EM∥AC，又AC⊥BD

　　∴EM⊥BD，

　　

　　

　　∴平面B₁DE⊥平面B₁BD。

　　（II）由（I）的结论，若过B作BN⊥DB₁于N，则得BN⊥平面B₁ED，

　　过N作NF⊥B₁E于F，连结BF，由三垂线定理，BF⊥B₁E，

　　∴∠BFN是二面角B—B₁E—D的平面角，

　　

　　（III）设B₁到平面BDE的距离为d，

　　

　　

　　

　　

　　

  例6.

　　（I）求双曲线方程；

　　

点坐标为（0，－1）且AC=AD，求k的取值范围。

　　分析：（I）要确定双曲线方程，需待定方程中的a²，b²，只需由已知条件列出关于a²，b²的两个方程即可。

　　

弦，若CD中点为P，则易得AP⊥CD，从而可联想到k_AP·k_CD=－1以及中点坐标公式……

　　解：（I）设双曲线右焦点为（c，0），（c>0），

　　

　　

　　

　　

　　

　　

　　

　　

　　

　　

　　

　　

　　

　　

　　

　　

【模拟试题】

一、选择：

  1. 平面直角坐标系中，两点A（cos80°，sin80°），B（cos20°，sin20°），则AB=（　　）

　　A. 　　　　　　　　　　　B. 　　　　　　 　　　　　C. 　　　　　　　　　　　D. 1

  2. 设集合（　　）

　　A. 　　　　B. 　　　 C. 　　　　　　　 　D.

  3. 极坐标方程表示的曲线是（　　）

　　A. 圆　　　　　　　　　　　　　B. 椭圆　　　　　　　　　　　　C. 抛物线　　　　　　　　　　　D. 双曲线

　4. 若的值为（　　）

　　A. 3　　　　　　　 　　　　  B. －3　　　　　　　 　　　　C. －2　　　　　　　　　　　　D.

　5. 下面四个函数中，以π为最小正周期，且在区间（）上为减函数的是（　　）

　　A. 　　　　　　　B. 　　　　C. 　　　　　　　　D.

　6. 若的最大值为（　　）

　　A. 6　　　　　　　 　　　　  B. 5　　　　　　　　　 　　　　C. 4　　　　　　　 　　　　  D. 3

　7. 设是两个平面，m、n是两条直线，则下列命题中正确的有（　　）个。

　　命题1：若m∥n，m⊥α，则n⊥α；　　　　　命题2：若m∥n，m∥α，则n∥α；

　　命题3：若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β；　 命题4：若m⊥n，则m⊥α，n⊥β，则α⊥β。

　　A. 0　　　　　　　 　　　　  B. 1　　　　　　　　　 　　　　C. 2　　　　　　　 　　　　  D. 3

　8. 已知f(x)是定义在（－3，3）上的奇函数，当时，f(x)的图象如下图所示，则不等式的解集为（　　）

　　A. 　　　　　　　　B.

　　C. 　　　　　　　　　　　　　D.

二、填空题：

　9. P是以F₁、F₂为焦点的双曲线上的一点，PF₁⊥PF₂，且则双曲线的离心率e=___________。

　10. 正三棱锥的底面边长为4，体积为1，则侧面与底面所成二面角的大小为___________（可用反三角函数表示）

　11. 等差数列{a_n}中，a₁=2，公差不为零，且恰是某等比数列的前三项，则该等比数列的公比q的值为___________。

　12. 把长为12cm的铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，则这两个正三角形的面积之和的最小值为___________，此时这两段铁丝长度分别为___________。

　13. 函数的最大值为___________，其单调增区间是___________。

　14. 集合A是S的一个子集，当时，若有，则称x为A的一个“孤立元素”，则S中无“孤立元素”的4元子集的个数是___________个。

三、解答题：

  15. 若，解关于x的不等式。

  16. 已知A是△ABC的一个内角，且的值。

  17. 数列{a_n}中，a₁=1，前n项和为S_n，对任意，是等差数列。

　　（1）求；

　　（2）求{a_n}的通项公式；

（3）求的值。

  18. 已知a>0，函数上为单调函数。

　　（1）求实数a的取值范围；

　　（2），求证：。

【试题答案】

一、选择：

  1. D　　　　　　　　　2. B　　　　　　　 3. D　　　　　　　 4. A　　　　5. B　　　　　　　　6. C　　　　　　　 7. D　　　　　　　 8. C

二、填空：

  9. 　　　　　　10. 　　　　　　11. 　　　　12.

　13. 最大值为，增区间为　　　　　  　14. 6个

三、解答题：

  15. 解：设，则原不等式可化为　　　

　　

　　

　　

　　

　　显然，

　　又∵

　　∴

　　∴

　　∴

　　综上，可得

　　当a>3时，原不等式的解集为；

　　当a=3时，原不等式解集为；

　　当

　　

  16. 解：∵

　　∴

　　∴

　　又∵

　　∴

　　又∵

　　∴。

  17. 解：由已知，得，

　　即

　　（1）计算，可得，

　　（2）猜测{a_n}的通项为

　　数学归纳法证明（略）

　　（3）

　　∴。

  18. 解：（I）任取，设

　　

　　∵

　　由于不存在常数a，使恒为负数，而f(x)有明确的单调性，故必有一个常数a，使恒为正数，即

　　∴

　　∴上为增函数

　　∴a的取值范围为（0，3]

　　（II）假设f(x₀)≠x₀，则

　　∵上为增函数，且

　　∴当

　　或当矛盾。

　　∴假设错误。

　　∴。