高三数学全程复习（一轮）
课时07 函数的解析式和定义域
【考点指津】
1．掌握函数的三种表示方法，会求简单函数的解析式．
函数的表示方法通常有：解析法、列表法、图象法，三者各具特点．解析式中包括分段函数，它由一个或多个式子构成，是一个函数；通过函数的图象能够直观地反映出函数的一些性质，因此要掌握函数的图象，并熟悉一些基本初等函数（正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等）的图象特征．
2．会求简单函数的定义域．
定义域是构成函数的重要要素之一，一切函数问题的研究都离不开函数的定义域，要熟练掌握求函数定义域的原则和方法．当一个函数可以用解析式表示时，函数的定义域就是使其解析式有意义的自变量的取值集合．在实际问题中，还应注意实际意义的制约．
【知识在线】
1．已知
，则f{f[f(-1)]}= ．
2．下列函数：①y=2x+5；②y= ；③y= ；④y =
其中定义域为R的函数共有m个，则m的值为 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．已知函数f(x) = 当f(x) = 33时，x = ．
4．若f(x-1)=2x+5，则f(x2) = （ ）
A．2x2+3 B．2x2+7 C．
+3 D．+7
5．已知函数f(x)
= lg
的定义域为A，函数g(x)=lg(1+x) – lg(1-x)的定义域为B，则下述关于A、B关系不正确的为
（ ）
A．AÊB B．A∪B=B C．A∩B=B D．B(≠A
【讲练平台】
例1 求函数
的定义域．
分析 根据有关条件列出不等式组，再求出不等式组的解集即为所求函数的定义域．
解 由函数解析式有意义，得
Þ0＜x＜1或1＜x≤2，或x≥3．
故函数的定义域是
．
点评 （1）求以解析式给出的函数定义域时，应遵循以下几条原则：①分式的分母不为零；②偶次根号下被开方数非负；③在a°中底数a≠0；④若f(x)是由几个部分构成的，则应采用交集法；⑤实际问题结合变量的实际意义来确定，等等；
（2）求不等式组的解集，通常借助数轴的直观性；
（3）函数的定义域一般应用集合或区间形式表示，在用区间表示时，要弄清区间端点的归属，正确使用开区间和闭区间符号，需特别注意的是，“∞”不是一个确定的数，而是一个变化趋势，只能用开区间；
（4）必须把所有的限制条件都列出来，特别是在
中，x-1≠0，不能遗漏．
例2 若函数 y=lg(x2+ax+1)的定义域为R，求实数a的取值范围．
分析 由函数 y=lg(x2+ax+1)的定义域为R知：x2+ax+1＞0对x∈R恒成立，而f(x)= x2+ax+1为二次函数，函数值恒正，故可利用“△”法求解．
解 因函数 y=lg(x2+ax+1)的定义域为R，故x2+ax+1＞0对x∈R恒成立，而f(x)= x2+ax+1是开口向上的抛物线，从而△＜0，即a2-4＜0，解得 -2＜a＜2，它便是所求的a的取值范围．
点评 （1）“△”法可判断一元二次函数值恒正、恒负或非正、非负；
（2）必须注意所用△的值是大于零、小于零、还是不大于零、不小于零．如下面的问题：关于x的不等式x2+ax+1＜0的解集为
，试求实数a的取值范围．问题便等价于x2+ax+1≥0的解集为R，从而有△≤0，解得 –2≤a≤2．
变题1 已知函数 y=lg(x2+ax+1)的值域为R，求a的取值范围．
提示：利用△≥0Þ a≥2或a≤-2．
变题2 已知函数 y=lg(ax2+ax+1)的定义域为R，求a的取值范围．
提示：分a＞0与a=0的两种情况求解，其答案为0≤a＜4．
思考：变题1、变题2及原题，它们的区别何在？
例3 《中华人民共和国个人所得税法》第十四条中有下表：
个人所得税税率表一（工资、薪金所得适用）
| 级别 | 全月应纳税所得额 | 税率（%） |
| 1 2 3 4 5 6 7 8 9 | 不超过500元部分 超过500元至2000元部分 超过2000元至5000元部分 超过5000元至20000元部分 超过20000元至40000元部分 超过40000元至60000元部分 超过60000元至80000元部分 超过80000元至10000元部分 超过100000元部分 | 5 10 15 20 25 30 35 40 45 |
表中“全月应纳税所得额”是从月工资、薪金收入中减去1000元后的余额．例如某人月工资、薪金收入1220元，减除1000元，应纳税所得额就是220元，应缴纳个人所得税11元．
（1）请写出月工资、薪金的个人所得y关于收入额x（0＜x≤3000）的函数表达式；
（2）一公司职员某月缴纳个人所得税75元，问他该月工资、薪金的收入多少？
分析 先读懂题意，正确理解“全月应纳税所得额”等的意义，然后利用分段函数法列出个人所得y关于收入额x的函数关系式，利用该关系式继续求解其它的问题．
解 （1）当0＜x≤1000时，y=x；
当1000＜x≤1500时，扣税： (x-1000) ·5%，从而所得为
y=x- (x-1000) ·5% = 0.95x+50；
当1500＜x≤3000时，扣税： (x-1500)·10%+500 ·5% = 0.1x-125，从而所得为
y= x-(0.1x-125) =0.9x+125．
故 y =
（2）显然，该职员的工资、薪金x满足1500＜x≤3000，故由
0.1x-125=75，
解得 x=2000．
答：该职员的该月工资、薪金收入为2000元．
点评 （1）函数的表示法有：解析法、列表法、图象法；而解析式中包含一类重要的函数——分段函数：对应于自变量x的不同取值范围，对应关系也不同．分段函数不管x被分成了几段，它仍是一个函数，而不是几个函数，它由几个部分构成了一个函数；
（2）写函数解析式时，不要忘了写上函数的定义域；对于实际问题，还不要忘了问题的实际意义．
变题 在原题的条件下，若设某人一月份应缴纳此项税款26.78元，则他当月工资总收入介于 （ D ）
A．500~600元 B．900~1200元 C．1200~1500元 D．1500~1800元
例4 （1）设f(x)是一次函数，且f[f(x)]=4x+3，求f(x)．
（2）设
，求f(x+1)．
（3）若f(x)满足f(x)+2f(
)=x，求f(x)．
分析 （1）已知了函数f(x)的类型，可采用待定系数法；
（2）视（
）为整体，采用换元法或配方法可求得f(x)的解析式，再用(x+1)整体代换f(x)中的x，即可求出f(x+1)的解析式；
（3）注意到x 与互为倒数，可通过倒数代换联立方程组解出f(x)．
解 （1）设f(x)=ax+b(a≠0)，则f[f(x)]=af(x)+b=a (ax+b)+b=a2x+ab+b，
∴ 
或
，∴ f(x)=2x+1或f(x)= -2x-3．
（2）解法一 ∵
，∴ f(x)=x2-1 (x≥1)，
∴ f(x+1)= (x+1)2-1 = x2+2x (x≥0)．
解法二 令t=，则
= t-1，∴f(t)=
(t-1)2+2(t-1)= t2-1．
又t=≥1，∴ f(x)=x2-1 (x≥1)，从而f(x+1)= x2+2x (x≥0)．
（3）在f(x)+2f()=x ①中，用代换x得 f()+2 f(x)= ②，
联立①、②解得 
．
点评 （1）正确理解函数的概念，是求抽象函数解析式的关键；
（2）求抽象函数的解析式常用配凑法（如题（2）的解法一）、换元法（如题（2）的解法二）、待定系数法（如题（1）的解答）以及取倒相消法（如题（3）的解答）等；
（3）在用换元法或配凑法求解析式时，应注意中间变量的取值范围，以确定函数f(x)的定义域．在题（2）中，由f(x)的定义域是{x∣x≥1}，则在f(x+1)中必须x+1≥1，即x≥0，从而f(x+1)的定义域是{x∣x≥0}．
变题 已知f(x)是定义在R上的函数，且f(1)=1，对任意x∈R都有下列两式成立：
（1）f(x+5)≥f(x)+5；
（2）f(x+1)≤f(x)+1．
若g(x)=f(x)+1-x，求g(6)的值．
提示：反复利用条件（2），有
f(x+5) ≤f(x+4)+1≤f(x+3)+2≤f(x+2)+3≤f(x+1)+4≤f(x)+5，（★）
结合条件（1）得 f(x+5)=f(x)+5．
于是，由（★），可得 f(x+1) = f(x)+1．
故 g(6)=f(6)+1-6= [f(1)+5 ]-5=1．
注意：数列{f(n)}（n∈N*）构成公差是1的等差数列．
【知能集成】
1．求函数的解析式的方法通常有待定系数法、配方法、换元法，有时还要用到方程的思想．
2．求函数的定义域，主要涉及以下几个方面：
①分式的分母不为零；②对数函数的真数都必须大于零，底数必须大于零且不为1；③偶次方根的被开方数非负；④零次幂的底数不为零，等．
对于实际问题，还应注意变量的实际意义或物理意义．
复合函数的定义域是使各部分都有意义的自变量取值范围的交集．
【训练反馈】
1．函数
的定义域为
（ ）
A．[0， ] B．[0，3] C．[-3，0] D．（0，3）
2．若f[g(x)] = 9x+3，且g(x) = 3x+1，则f(x)的解析式为 （ ）
A．3x B．3 C．9(3x+1) +1 D．3(9x+3) +1
3．已知g(x)=1-2x，f[g(x)]= (x≠0)，则f(0.5)= （ ）
A．1 B．3 C．15 D．30
4．若函数f(x)满足f(xy)= f(x)+ f(y)，且f(2)=m，f(3)=n，则f(72)= （ ）
A．6mn B． m3+n2 C．2m+3n D．3m+2n
5．函数y=f(x)的图象如题图所示，则f(x)的解析式为 （ ）
A．
B．
C．x2 – 1 D．x2 – 2x+1
6．若函数f(x)的定义域为[a，b]，且b＞-a＞0，则函数g(x)=f(x)-f(-x)的定义域是（ ）
A．[a，b] B．[-b，-a]
C．[-b，b] D．[a，-a]
7．若f(2x+3)的定义域是{x-4≤x＜5＝，则函数f(2x-3)的定义域是 ．
8．求函数y =
的定义域．
9．动点P从边长为1的正方形ABCD的顶点A出发顺次经过B、C移动一周回到A点，设x表示点P的行程，y表示线段PA的长，试求y关于x的函数式．
10．若函数f(x) = 的定义域为R，求实数k的取值范围．
11．已知函数f(x) = (a，b为常数，且a≠0)满足f(2)=1，f(x)=x只有惟一实数解，试求函数y=f(x)的解析式及f[f(-3)]的值．
12．定义在（0，+∞）上的函数f(x)满足：
①f(2)=1；
②f(xy)=f(x)+f(y)，其中x、y为任意正实数；
③任意正实数x、y满足x＞y时，f(x)＞f(y)．
试回答下列问题：
（1）求f(1)、f(4)；
（2）试判断函数f(x)为单调性；
（3）如果f(x)+f(x-3)≤2，试求x的取值范围．
参考答案：
【知识在线】
1．π+1 2．D 3． - 4 4． B 5．D
【训练反馈】
1．B 2．A 3．C 4．D 5．B 6．D 7． {x-1≤x＜8} 8．（0，5] 9． y= 
10．提示：若k=0，则函数的定义域为R；若k≠0，则对任意x∈R，kx2+4kx+3≠0，从而，△＜0，解得0＜k＜．从而所求k的取值范围为{k0≤k＜}． 11．提示：f(x) =x只有惟一实数解，即 = x (*)只有惟一实数解，
当ax2+(b-1)x=0有相等的实数根x0,
且a x0+b≠0时,解得f(x)= , f[f(-3)] = , 当ax2+(b-1)x=0有不相等的实数根,且其中之一为方程(*)的增根时,解得f(x)= 1, f[f(-3)] =1． 12．（1）f(1) =0，f(4)=2；（2）增函数；（3）3＜x≤4．