数学高考模拟试题
一、选择题（每小题5分，共60分）
1．已知等差数列
的公差是2，且
，则
等于（ ）．
A．25 B．50 C．75 D．100
2．已知
、
为锐角，且
，则
等于（ ）．
A．
B．
C．
D．
3．已知
、
是椭圆
的两个焦点，过的直线交椭圆于A、B两点，若
，则
等于（ ）．
A．11 B．10 C．9 D．16
4．
＝（ ）．
A．0 B．
C．1 D．
5．已知二面角
的平面角是锐角
，内一点C到的距离为3，点C到棱AB的距离为4，则
的值为（ ）．
A．
B．
C．
D．
6．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，
，则
等于（ ）．
A．-2 B．2 C． D．
7．若双曲线
的焦距为6，则实数m的值为（ ）．
A．1 B．±1 C．±4 D．4
8．系统抽样又称为等距抽样．从N个个体中抽取n个个体为样本，先将总体中的N个个体编号1，2，3，…，N，再确定抽样间隔，即抽样距
（
表示
的整数部分）．从第一段1，2，…，k个号码中随机抽取一个入样号码
，则，
，…，
号码均入样构成样本．依此抽样，则每个个体的入样概率（ ）．
A．相等 B．不相等 C．与有关 D．与编号有关
9．设坐标原点为O，抛物线
与过焦点的直线交于A、B两点，则
等于（ ）．
A． B．
C．3 D．-3
10．甲、乙两乒乓球队各有运动员三男二女，其中甲队一男与乙队一女是种子选手，现在两队进行混合双打比赛，则两个种子选手都上场的概率是（ ）．
A．
B．
C．
D．
11．不等式组
表示的平面区域内，横、纵坐标都是整数的点（x，y）有（ ）．
A．2个 B．4个 C．5个 D．8个
12．如下图所示，液体从一圆锥形漏斗漏入一圆柱形桶中，开始时，漏斗盛满液体，经过3分钟漏完．已知圆柱中液面上升的速度是一个常量，H是圆锥形漏斗中液面下落的距离，则H与下落时间t（分）的函数关系表示的图象只可能是（ ）．
A． B． C． D．
二、填空题（每小题4分，共16分）
13．一个长方体共一顶点的三个面的面积分别为
，
，
，且它的八个顶点都在同一个球面上，则这个球的面积为_____________．
14．已知f（x）是定义域为R，最小正周期为
的函数，且当
[
，
]时，
若
，则x＝_________________．
15．已知数列的通项公式为
（n=1，2，3，…），且满足
，则实数
的取值范围是_________________．
16．所谓迭代，可以看作同一个运算或操作多次重复．如，自然数的乘法a×k，即k个a累加
可以看作加法运算或函数
的迭代．同样，乘方也可以理解为迭代．又如，等差数列、等比数列的通项公式也是迭代产生的．据此，在生态学中研究的昆虫种群量模式
，
可以看作函数f（x）＝________的迭代．
三、解答题（第17～21题每题12分，第22题14分，共74分）
17．已知函数
，
为奇函数，其图象关于直线
对称，且在区间
，
上f（x）为单调函数．求
和
的值．
18．某新工艺流程如投产成功可收益300万元．但投产之前，必须经过小型试验和中型试验，试验经费分别需2万元和36万元．小型试验的成功率为0.7，如果连做两次小型试验，则成功率可提高到0.8，在小型试验基础上的中型试验的成功率为0.7，如果直接搞中型试验的成功率为0.5．
（1）计算决策甲：先进行一次小型试验，再进行一次中型试验时工程投资获益的期望值．（注：先填写下列表格，再计算其期望值）
（2）分别计算决策乙和丙工程投资获益的期望值：
决策乙：先进行两次小型试验，再进行一次中型试验．
决策丙：直接进行一次中型试验．
（3）甲、乙、丙三种决策方案中，哪一种决策方案最有利？
19．如图，在直三棱柱
中，AB＝BC，AB⊥BC，且AC＝
＝2，D为
的中点，E为
的中点．
（1）求异面直线BE与DC所成的角；
（2）在线段
上是否存在点F，使CF⊥平面
？若存在，求出
；若不存在，请说明理由；
（3）若F为的中点，求点C到平面
的距离．
20．已知函数
，（其中a、b为常数，且
）在区间[-1，1]上的最大值为1，最小值为
．求a、b的值．
21．如图，已知点P（3，0），点A、B分别在x轴负半轴和y轴上，且
，
．当点B在y轴上移动时，记点C的轨迹为E．
（1）求曲线E的方程；
（2）已知向量
＝（1，0），
＝（0，1），过点Q（1，0）且以向量
为方向向量的直线l交曲线E于M、N两点．若D（-1，0），且
，求t的取值范围．
22．在xOy平面上有一系列点
，
，
，
，…，
，
，…，对每个正整数n，点
位于函数
的图象上，以点为圆心的圆与x轴都相切，且圆与圆
又彼此相外切．若
，且
（n＝1，2，3，…）．
（1）求证：数列
是等差数列；
（2）设圆的面积为
，
，求证：
．
参考答案
1．D 2．D 3．A 4．D 5．C 6．B 7．B 8．A 9．B 10．A 11．C 12．B 13．
14．
15．（-3，＋∞）
16．
17．由
为奇函数知，
，因为
，所以
，
，
．由f（x）图象关于直线对称知，
，
．因为
，所以
，且
，因为在，上为单调函数，所以
，
．所以，
18．（1）填表如下：
决策甲工程投资获益的期望值为
＝0.49×262＋0.21×（-38）＋0.3×（-2）＝119.8万元． （2）决策乙工程投资获益的期望值为
＝0.56×260＋0.24×（-40）＋0.2×（-4）＝135.2万元．决策丙工程投资获益的期望值为
＝0.5×264＋0.5×（-36）＝114万元． （3）由
，
知，决策乙最有利
19．（1）如图，以B为坐标原点，射线BA、BC、为x、y、z轴正半轴建立空间直角坐标系．由条件知，B（0，0，0），A（，0，0），C（0，，0），
（0，，2），E（0，
，1），
（，0，2），D（，，2）．所以
＝（0，，1），
，，
，cos（，）＝
．所以异面直线BE与DC所成的角为
． （2）假设点F存在，坐标为（，0，z），则
，
，
．又
，
，
，
，0，
．所以
＝-1＋1＋0＝0，且
．所以
，由于该方程无实数解，所以符合条件的点F不存在． （3）当F为中点时，，，
，，0，
．设
＝（x，y，z）为平面的一个法向量，则
，
．所以
，
，取x＝1得平面的一个法向量
＝（1，-1，）．因为
在上的射影长为
，所以点C到平面的距离为
20．由
，且＜a＜1，知
| x | -1＜x＜0 | x＝0 | 0＜x＜a | x＝a | a＜x＜1 |
|
| 正数 | 0 | 负数 | 0 | 正数 |
|
| 递增 | 极大值 | 递减 | 极小值 | 递增 |
由此可知，最大值仅可能在x＝0及x＝1处取到；最小值仅可能在x＝-1及x＝a处取到．因为
，
，且＜a＜1，所以
，
在x＝0处取到最大值．所以
，此时
．若在
处取到最小值，则
，
，．由于
时，
．所以符合要求．若在x＝a处取到最小值，则
，
，a＞1，与条件＜a＜1矛盾．所以所求的a、b值为，b＝1
21．（1）设A（a，0），B（0，b），C（x，y），则
，
，
，
，
，
，
，．因为，．所以
消a、b得
．所以曲线E的方程为
． （2）设R（x，y）为直线l上一点，则由条件知
，即
，
，
．所以
，且
，消得l方程为
．由
消y得
．设
，、
，，则
，，
，．
，所以
，且
，解得
．所以t的取值范围是
或
22．（1）记圆的半径为
，由条件知，
，
，
．所以
，
，因为，所以
，
．所以数列
是等差数列，公差为2． （2）由（1）知，
，
，
．所以
，因为n≥2时，
，所以
，所以
．