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高三数学学科综合能力训练(三)

2014-5-11 0:20:07下载本试卷

高三数学学科综合能力训练(三)

【同步达纲练习】

一、选择题:(本大题共14小题；第1—10题每小题4分，第11—14题每小题5分，共 60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1.sin15°cos(-375°)的值是(　　)

A.-　　　　　　B. 　　　　C.-　　　　D.

2.设A=｛(x,y)｜4x+y=6｝,B=｛(x,y)｜3x+2y=7｝,则满足CA∩B的集合C的个数是(　　)

A.0　　　  B.1　　　  C.2　　　　D.4

3.(文科做)已知cosx=-(π＜x＜2π)，则x等于(　　)

A.π　　　B.π　　　C.π　　　D.π

　(理科做)已知cosx=-(π＜x＜2π，则x等于(　　)

A.arccos(-)　　　　　  B.π+arccos(-)

C.π+arccos 　　　　　 D.2π-arccos

4.不等式＞x-1的解集是(　　)

A.(0，5)　　　　　　　　 B.［-，1］

C.［1，5］　　　　　　　 D.［-，5)

5.已知函数y=f(x)的图像是C1，C1关于y轴对称的图像是C2，若C2关于原点对称的 图像所表示的函数是y=g(x)，那么g(x)的表达式是(　　)

A.g(x)=f(x)　　　　　　  B.g(x)=-f(x)

C.g(x)=f(-x)　　　　　　 D.g(x)=-f(-x)

6.A、B分别是复数z1、z2在复平面上对应的两点，且z1·z2≠0，O是原点，若│z 1+z2│=│-│，则△AOB是(　　)

A.等腰三角形　　　　　　 B.直角三角形

C.等边三角形　　　　　　 D.等腰直角三角形

7.若a＞b＞0，则的值是(　　)

A.　　  B.　　  C.　　  D.

8.如果sinα+cosα=(≤a≤1)且│sinα│≤│c osα│，那么角α的终边所在的位置(用图中阴影表示)可能是(　　)

9.函数y=(e为自然对数的底，e=2.71828…)的值域 是(　　)

A.(-∞，-)∪(1，+∞)　　　　　　　 B.(- ，1)∪(1 ，+∞)

C.(- ，0)　　　　  　　　　　　　　D.(- ，1)

10.已知数列｛an｝中，an=3n-30，若数列｛bn｝的通项bn=a1+a3+a32+… …+，那么bn的绝对值最小项是(　　)

A.b2　　　B.b3　　　C.b4　　　D.b5

11.已知复数ω=(＜ θ＜，那么argω等于(　　)

A.2θ-　　　　  B.2θ-

C.5π-2θ　　　　  D. -2θ

12.A、B、C、D、E五人并排站成一排，如果A、B必须相邻且在C的右边，那么不同的排法有 (　　)

A.60种　　　B.48种　　  C.36种　　　D.24种

13.用数学归纳法证明：(n+1)(n+2)……(n+n)=2n·1·3…(2n-1)(n∈N)时，从“k到k+1 ”时，左边需要相乘的代数式是(　　)

A.　　　　　　　　 B.

C.2(2k+1)　　　　 　　　 D.2k+1

14.(理)下列方程表示双曲线的是 (　　)

A.=1(-＜θ＜)

B.4ρcos2=3

C.｜z-i｜-｜z+i｜=2(z是复数)

D.

(文)已知点E(3，2)，点F是抛物线x=y2的焦点，点P是抛物线上一 动点，当｜PE｜+｜PF｜取最小值时，点P的坐标是(　　)

A.(1，)　　　B.(1，1)　　  C.( ，1)　　　D.(2，2)

二、填空题:(本大题共4小题；每小题4分，共16分，把答案填在题中“横线”上)

15.若正数a、b满足ab=a+b+3,则a·b的取值范围是　　　　　　 .

16.二项式(2x-1)12·(2x2-x)的展开式中，x2项的系数是　　　　　　 .

17.如图，已知点G是矩形ABCD的边AB上一点，连结AC、GC，若△AD C、△AGC和△B GC分别绕矩形AD边旋转一周所得旋转体体积相等，则AG∶GB＝　　　　　　 .

18.关于函数y=f(x)=x+-1(x∈R，x≠1)有下列命题.

①y=f(x)的最小值是2；

②函数y=f(x)的图像关于(1，0)点对称；

③函数y=f(x)的图像关于x轴对称；

④函数y=f(x)在区间(-∞，1)有最大值-2.

其中，正确命题的序号是　　　　　　  .

三、解答题：(本大题共6小题；共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

19.已知函数f(x)=5+2sinxcosx-6cos2x，求：

(1)f(x)的最小正周期和f(x)的最小值；

(2)f(x)的单调递增区间.

20.(文科做)解方程：log2(2x+1+4)+log1/2(4x-4)=1.

　(理科做)解不等式：log8(x-a)+log64(x+a)≥log4x(a∈R，a≠0).

21.已知复数ω=(z≠±3)是纯虚数.

　(文科做)求实数μ=│6i-z│的最大值和最小值.

　(理科做)求复数μ=6i-z的幅角主值范围.

22.红光机械厂拟更换一部发电机，已知B型发电机比A型发电机购价多1000元，但每月可节 约使用费50元(节约额于月末实现).按1%的月折现率计算(月折现率r，是指一个月后的1元， 相当于现值的元)，求：

(1)B型发电机使用2个月可节约使用费相当于现值的多少元?

(2)更换B型发电机至少使用多少月才比较合算(精确到月)?

(取lg2=0.3010,lg1.01=0.0043)

23.(文科做)已知函数y=,(x＞1，ax+1≠0，且a≤0)当y＜0时，求 a的取值范围.

　(理科做)已知函数f(x)=-x2+(m+n)x+2m-n和函数g(x)=，对于任意 实数x(x≠-)，总有g［g(x)］=x恒成立，当x∈［-1，2］时，f(x) 有最大值，求m、n的值.

24.已知曲线C1的方程是2x2-y2=2m2(m＞0)，抛物线C2的顶点在坐标原点，抛物 线的焦点是双曲线C1的左焦点F.

(1)求证：双曲线C1与抛物线C2有且只有两个公共点；

(2)是否存在过F的抛物线C2的弦PQ，使△POQ的面积为6cm2，若存在，求出PQ所在直线的倾斜角；若不存在，请说明理由.

参考答案

【同步达纲练习】

一、选择题：

1.B　2.C　3.文A　理C　4.D  5.B　6.B　7.A  8.A　9.D　10.C　11.A　12.D　13.C　14. 文D　理D.

二、填空题

15.［9,+∞)

16.26　17.　18.②④.

三、解答题

19.解：(1)∵f(x)=sin2x-6·+5

=sin2x-3cos2x+2

=2sin(2x-)+2.

∴T===π.

∴当sin(2x-)=-1时，有最小值2-2.

(2)设2kπ-≤2x-≤2πk+,

2kπ-≤2x≤2kπ+.

∴kπ-≤x≤kπ+ (k∈Z).

∴f(x)的递增区间为［kπ-,kπ+π］.

20.(文科做)

解：原式变为：log2(2x+1+4)-log2(4x-4)=log22，

∴=2.

令2x=y，原方程变形为y2-y-6=0，∴y1=3或y2=-2(舍去).

当y1=3时，2x=3，∴x=log23.

检验知x=log23是原方程的根.

　(理科做)

解：由log8(x-a)+log64(x+a)≥log4x(a∈R，且a≠0)，变形为log2(x-a)+log2(x+a)≥log2x.

∴原不等式等价于不等式组：

1°当a＞0时，不等式组等价于

即 (无解).

2°当a＜0时，不等式组等价于

即 (无解).

或解得x≥a.

综上所知，当a＜0时，x≥a，

当a＞0时，无解.

21.解1：令z=x+yi(x，y∈R)

∴ω=

=

　　=

∵ω是纯虚数，∴x2+y2=9，∴│z│=3.

解2：∵ω是纯虚数，∴ω+=0，

即=0z=9,∴│z│=3.

(文科做)由题意知│6i│-│z│≤μ≤│6i│+│z│，

即6-3≤μ≤6+3，∴3≤μ≤9.

(理科做)复数μ=6i-z，可表示为在复平面上，以(0，0)为圆心，3为半径的圆周上动点A到 定点B(0，6)的有向线段(如图).

1°当与圆在第Ⅰ像限相切时，有最大幅角主值为+ ∠OBA=+=π.

2°当与圆在第Ⅱ像限相切时，有最小幅角主值为-=，∴≤argμ≤π.

 22.解：(1)使用两个月节约费用100元，相当于现值的50×+50()2=50［+()2］≈98 .5(元).

(2)B型发电机使用3个月节约费用相当于现值的50×［+()2+()3］，使用n个月节约费用相当于现值的50［+()2+…+()n］.

设更换B型发电机至少使用n个月才比较合算，则50［+()2+……+()n］≥1000，即50·≥1000.

∴1.01n≥,nlg1.01≥lgn≥≈n≈23.

答：(略).

23.(文科做)解：＜0.

1°当a=0时，y=-1＜0，对任意x＞1均满足不等式.

2°当a＜0时，原不等式等价于

　　(Ⅰ)　或　　(Ⅱ)

由(Ⅰ)解得　　又x ＞1，

∴

∴

由(Ⅱ)

∴a2＜0(无解).

综合知a的取值范围为a=0，或a≤-1.

(理科做)解：

∵g［g(x)］===x，

即(2n+6)x2+(9-n2)x=0.

∵对任意的x上式均成立.

∴　解得n=-3.

∴f(x)=-x2+(m-3)x+2m+3.

其对称轴为x=.

1°当-1＜＜2，即1＜m＜7时，

f(x)max=f()=

∴m=-4(舍去)或m=2.

2°当≤-1，即m≤1时，

fmax(-1)=m+5=，

∴m=与m≤1矛盾，无解.

3°当≥2，即m≥7时，

fmax(2)=-4+2(m-3)+2m+3=4m-7=.

∴m=与m≥7矛盾，无解.

综上知，符合要求的值为

n=-3，m=2.

24.(1)由2x2-y2=2m2,有-=1　　　　　  ①

双曲线的左焦点为F(-m,0).由题意，可设抛物线方程y2=-2px,则m,即p=-2.

抛物线方程为　y2=-4mx　　　　  ②

把②代入①，整理得x2+2mx-m2=0　　　　  ③

方程③的判别式

△＝(2m)2-4(-m2)=16m2＞0，

x1x2=-m2＜0，x1、x2异号，不妨设x1＞0,x2＜0，对x1＞0,它不适合方程②，应舍 去，故只有x2＜0满足方程②，此方程②有且只有两组实数解.

C1和C2有且只有两个公共点.

(2)设过F的直线的倾斜角为α.

当α≠，过F的直线为y=k(x+m),

x=-m　　　　  ④

把④代入②，得y2=-4m(-m)

即y2+y-12m2=0

｜PQ｜=｜y1-y2｜=·

　　  =·

原点O到PQ的距离为d=,

=｜PQ｜·d=··

　 =

令　=6m2,则=｜k｜ 故k不存在.

当a=时，过F的直线方程为x=-m　　　　  ⑤

把⑤代入②，得

y２=-4m(-m)=12m2,

y=±2m 所以｜PQ｜=4m

从而S△POQ=｜PQ｜(m)=·4m·m=6m2

a=符合题设要求.

综上知，存在过F的抛物线C2的弦PQ，使△POQ的面积为6m2,这样的直线的倾斜角为.