高三下学期数学模拟试题（二）
一、选择题：本小题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
（1）sin15°cos165°的值是（ ）．
A．
B．
C．
D．
（2）已知三条直线m、n、l，三个平面
，下面四个命题中，正确的是（ ）．
A．
B．
C．
D．
（3）已知
（－2，5），
，且
与
方向相反，那么＝（ ）．
A．（4，－10） B．
C．（－4，10） D．
，
（4）函数
的单调递增区间是（ ）．
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
（5）一直线
与圆
交于A、B两点，则线段AB的垂直平分线的方程是（ ）．
A．
B．
C．
D．
（6）已知在一个球的球心两侧有相距为7的两个平行截面，截面面积分别为9p 和16 p ．那么这个球的表面积为（ ）．
A．
B．100 p C．64 p
D．36 p
（7）口袋里有5个黑球和3个白球，每次任意取出一个球，若取出黑球，则放回袋中重新取球；若取出白球，则停止取球，那么正好在第4次取球后停止取球的概率是（ ）．
A．
B．
C．
D．
（8）若一个等差数列前3项和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列共有（ ）．
A．13项 B．12项 C．11项 D．10项
（9）已知函数
在
处有极值，则
的递减区间是（ ）．
A．
，
，
B．（1，5）
C．（2，3）
D．，
，
（10）F1、F2是椭圆的左、右两焦点，以F2为圆心，OF2为半径的圆与椭圆交于点M，O是原点，如果F1M正好是这个圆的一条切线，则这个椭圆的离心率是（ ）．
A．
B．
C．
D．
（11）
（ ）．
A．
B．
C．
D．
（12）已知是定义在R上的奇函数，
，若当
时，
，则
的值为（ ）．
A．
B．
C．
D．
二、填空题：本大题4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上．
（13）
的值为________．
（14）正方形ABCD、ABEF有公共边AB，它们所成二面角为60°，那么异面直线AC、BF所成角的余弦值为________．
综8
（15）双曲线
的离心率小于2，那么实数k的取值范围是________．
（16）
＝________．
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（17）（本小题满分12分）
解关于x的不等式
．
（18）（本小题满分12分）
ABCD是四边形，
，
，
，
．
（Ⅰ）若
∥
，求x、y间的关系；
（Ⅱ）若∥，
⊥
，求x、y的值．
（19）（本小题满分12分）
如图综9，四面体ABCD中，AB、BC、BD两两垂直，且AB＝BC＝2，E是AC中点，异面直线AD与BE所成角的正弦为
．
（Ⅰ）求二面角D－AC－B的平面角的正切值；
（Ⅱ）求点B到平面ACD的距离．
综9
（20）（本小题满分12分）
南方某林场有荒山3250亩，从1996年1月开始在该荒山上植树造林，且每年种树全部成活．第一年植树100亩，此后每年都比上一年多植树50亩．
（Ⅰ）问至少需多少年才能把此荒山全部绿化?
（Ⅱ）如果新种树苗每亩木材量为2立方米，树木每年的自然增材率为10%，那么到此荒山全部绿化后的那一年底，这林场树木的木材量总共有多少立方米？（可用1.111≈2.7）
（21）（本小题满分12分）
（Ⅰ）a取什么值时，直线
是曲线
的切线？
（Ⅱ）a取什么范围内值时，函数
在区间（－1，1）内是减函数？
（22）（本小题满分14分）
已知抛物线
的准线与x轴交于M点，过点M作直线与这个抛物线交于两个不同的点A、B，线段AB的垂直平分线与x轴交于E（x0，0）．
（Ⅰ）求x0的取值范围．
（Ⅱ）△
能否是等边三角形？若能，求x0的的值；若不能，说明理由．
参考答案
一、选择题：
（1）C （2）D （3）A （4）B （5）A （6）B
（7）C （8）A （9）C （10）D （11）D （12）B
提示：
（3）设
，则
，
．于是有
．
（4）函数
，
复合而成，又函数在
上是增函数，只要求
的递增区间．
（5）所求直线过已知圆圆心，且与已知直线垂直．
（6）设球半径为R，则
．解得
．
（7）从口袋里任取一球是黑球的概率是
，是白球的概率是
．这四次取球是前三次都为黑球，第4次为白球．
（8）设等差数列公差为d，共n项，则有
故有
．
．
（9）
，由
可得
．
∴ 
，由
解得
．
（10）由
可得
．
（11）只要验
．
（12）由于是奇函数，故
，又
，
，即
，
∴ 
．
二、填空题：
（13） （14）
（15）
（16）97
提示：
（13）
．
（14）取BC中点G，AB中点H，AF中点P，BE中点Q，设AB＝2，则
，
，
．
（15）双曲线方程变为
．于是
．
（16）
．
三、解答题：
（17）
．
当
时，不等式为
，解得
．
当
时，
．
于是可得当
时，原不等式解为
；
当时，原不等式解为；
当
时，原不等式解为
或．
（18）（Ⅰ）
（6，1）＋（x，y）＋（－2，－3）＝（x＋4，y－2）．
由
，故
，即
．
①
（Ⅱ）
（6，1）＋（x，y）＝（x＋6，y＋1），
（x，y）＋（－2，－3）＝（x－2，y－3）．
由
，故
．
②
由①，②解得
（19）（Ⅰ）取CD中点F，连结BF、EF．∴ EF∥AD，∠BEF为AD，BE所成角，
，
．
∵ AB＝BC，设BD＝x，则
．连结DE，故
，
，
∴ ∠BED为二面角D－AC－B的平面角．
可以求得
，
，
．由余弦定理可求得
．
在Rt△
中，
．
（Ⅱ）过B作
于H．∵平面
平面ACD，∴
平面ACD，即BH为B到平面ACD的距离，由
可求得
．
（20）（Ⅰ）设至少要n年才能把此荒山全部绿化，第一年，第二年，第三年，…所种树的亩数成等差数列，首项为100，公差为50，于是有
．化简得
．
解得
，即至少需10年才能把此荒山全部绿化．
（Ⅱ）这10年中，每年所种树苗的木材量（单位：立方米）成等差数列，为200，300，400，…，1100．故所求木材总量S为
由此可得
（立方米）．
（21）（Ⅰ）
，设切点为（x0，y0），则
，即
．
又
．由此可解得
或
经验证可得或
时，直线是已知曲线的切线．
（Ⅱ）
．
∵ 当
时
，
∴ 当
时，
，即
∴ 当时，给出函数在（－1，1）上是减函数．
（22）（Ⅰ）设过M点的直线为
，代入中可得
∴ △
，解得
，且
．
设A（x1，y1），B（x2，y2），则
，则线段AB中点为
，
．
∴ AB的垂直平分线方程为
．令
，得
，即
．
（Ⅱ）若△为等边三角形，则点E到AB的距离
．
又
，
∴ 
．解得
．从而得
．