高三下学期数学模拟试题（三）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．
（1）a＝3是直线
和
平行且不重合的（ ）．
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分条件也非必要条件
（2）在等差数列
中，
，
，那么其前13项的和
等于（ ）．
A．168 B．156 C．78 D．152
（3）已知定点M和定直线l，
，那么经过点M且与直线l相切的动圆的圆心的轨迹是（ ）．
A．直线 B．二条平行直线
C．圆 D．抛物线
（4）已知函数：
，
，
，
．从中任取两个相乘得到若干个函数，所得这些函数中偶函数共有（ ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
（5）已知向量
、
的夹角为90°，且
，记
，
，若
，则k＝（ ）．
A．－6 B．6 C．3 D．－3
（6）若点P在直线
上移动，PA、PB是圆
的两条切线，A、B是切点，O是原点，则四边形PAOB的面积最小值为（ ）．
A．24 B．16 C．8 D．4
（7）点P在曲线
上移动时，过点P曲线的切线的倾斜角的取值范围是（ ）．
A．
，
］
B．［，p ］
C．，
，
D．，
，p ）
（8）从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，若其中甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作，则选派方案共有（ ）．
A．280种 B．240种 C．180种 D．96种
（9）已知圆锥轴截面是边长为2的等边三角形，当它的内接圆柱的侧面积最大时，内接圆柱的高为（ ）．
A．
B．
C．
D．
（10）已知
的展开式中，
项的系数为100，那么实数a的值为（ ）．
A．0或
B．
或
C．0或 D．，－
（11）设是由正数组成的等差数列，
是由正数组成的等比数列，且
．若存在自然数m，使得
，则必有（ ）．
A．
B．
C．
D．
（12）二次函数
的二次项系数为正数，且对任意
R都有
成立，若
，则x的取值范围是（ ）．
A．
B．
或
C．
D．或
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中空格上．
（13）若双曲线
的一个焦点到一条渐近线的距离为
，则a＝________．
（14）若
，则a＝________．
（15）把正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角后，得到的三棱锥A－BCD中，有以下四个结论：
①
；
②△
是等边三角形；
③AB与面BCD成60°角； ④AB和CD成60°角．
那么以上结论中，正确结论的序号是________．
（16）（理科）一个袋子里有大小相同的3个红球和2个白球，从中同时取出2个，则其中含红球个数的数学期望是________．（用数字作答）
（文科）一个工厂有若干个车间，今采用分层抽样方法从全厂某天的2048件产品中抽取一个容量为128的样本进行质量检查．若一车间这一天生产256件产品，则从该车间抽取的产品件数为________．
三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（17）（本小题满分12分）
制造某种零件，甲机床的废品率为0.04，乙机床的废品率为0.05，从这二机床生产的产品中各抽出一件作检验，求
（Ⅰ）其中恰有一件废品的概率；
（Ⅱ）其中至多有一件废品的概率；
（Ⅲ）其中没有废品的概率．
（18）（本小题满分12分）
数列的前n项的和为
，且
．其中
，
，
．
（Ⅰ）若数列是公比为q的等比数列，求证
；
（Ⅱ）若，求证数列是等比数列．
（19）（本小题满分12分）
正方体
中，E、F分别为AB、BB1的中点（如图综10）．
（Ⅰ）证明EF∥平面
；
（Ⅱ）求二面角
的平面角的正切值；
（Ⅲ）若
，求三棱锥
的体积．
综10
（20）（本小题满分12分）
已知函数
．
（Ⅰ）求此函数的定义域及单调递增区间；
（Ⅱ）求此函数的极大值和极小值．
（21）（本小题满分12分）
已知甲、乙、丙三种食品的维生素A、B的含量及成本如下表：
| 甲 | 乙 | 丙 | |
| 维生素A含量（单位/千克） | 600 | 700 | 400 |
| 维生素B含量（单位/千克） | 800 | 400 | 500 |
| 成本（元/千克） | 11 | 9 | 4 |
某食品研究所想用x千克甲种食品、y千克乙种食品、z千克丙种食品配制成100千克的混合食品，并使混合食品中至少含有56000单位的维生素A、63000单位的维生素B．
（Ⅰ）用x、y表示这种混合食品的总成本C（元）；
（Ⅱ）确定x、y、z的值，使混合食品的总成本最低．
（22）（本小题满分14分）
已知双曲线
的左、右两个顶点分别为A、B，过这双曲线右焦点F2且与x轴垂直的直线交双曲线于两点P、Q、P在x轴上方，且
，
．
（Ⅰ）求这双曲线的方程；
（Ⅱ）若直线
与双曲线交于不同两点M、N，且M、N都在以E（0，－1）为圆心的同一个圆上，求k的值．
参考答案
一、选择题：
（1）C （2）B （3）D （4）A （5）B （6）C
（7）D （8）B （9）A （10）C （11）B （12）C
提示：
（2）可求得
，公差
．
（4）可得6个函数，其中只有
是偶函数．
（5）由
，得
，即
．又
，
，
，可得
．
（6）分析图形知，当
最小时，四边形PAOB面积最小，此时为0到已知直线距离．
（7）切线斜率
，即
且
．
（8）
或
．
（9）设内楼圆柱底面半径为x，高为h，则
，故
．故侧面积
．当且仅当
，即
时等号成立．
（10）
．
故
．
（11）
是
,
的等差中项，
是
,
的等比中项．
（12）二次函数的图象向上开口，且以
为对称轴，于是有
．
二、填空题
（13）3 （14）1 （15）①，②，④ （16）（理科）1、2（文科）16
提示：
（13）双曲线焦点为（0，
），渐近线为
．
（16）（理科）取2球其中含红球个数
的分布列为
|
| 0 | 1 | 2 |
P |
|
|
|
故
．
（文科）
．
三、解答题：
（17）设甲机床产品是废品记作A，乙机床产品是废品记作B，则P（A）＝0.04，P（B）＝0.05
（Ⅰ）
．
（Ⅱ）
．
（Ⅲ）
．
（18）（Ⅰ）∵ 数列是公比为q的等比数列，且，则
．
∴ 
，即
．
于是有
从而可得．
（Ⅱ）若，故
．
当n＝1时，
，
当
时，
．又当
时，
，∴
N*）．
∴ 
，即是等比数列．
（19）（Ⅰ）∵ E、F分别是AB和BB1的中点，∴
，又EF在平面
上，
在平面上，∴ EF∥平面．
（Ⅱ）过B在平面ABCD由作
于G，连结FG．由于
平面ABCD，∴
，故
为二面角的平面角．
设正方体棱长为2a，在Rt△
中，
．
．
∴ 
．
在Rt△
中，
．
（Ⅲ）∵ 
平面
，
∴ 
．
答10
（20）（1）函数定义域为
．
，得
或
∴ 函数的单调递增区间为（－1，0），（1，＋
）．
（2）列表：
∴ 函数的极小值为
或
，没有极大值．
（21）（Ⅰ）依题意有
．
．
（Ⅱ）
中把
代入，可得
∴ 
当且仅当
即
时上式等号成立
∴ 当
千克，
千克，
千克时，混合食品总成本最低．
（22）（Ⅰ）由已知可求得P（c，
），故在Rt△
中，
，在
中，
．
又，
．
∴ 
，解得
，∴ 双曲线方程为
．
（Ⅱ）把
代入中，可得
．
∴ 
①
此时设
，
，N
，
，则
．
∴ MN中点F的坐标为
．
由
，故
，即
，解得
．
经验证，符合①，因此为所求．