二、高三数学基本知识点：数列
1
数列是特殊的函数，有些题目可结合函数知识去解决，体现了函数思想、数形结合的思想
2 等差、等比数列中，a
、
、n、d(q)、
“知三求二”，体现了方程(组)的思想、整体思想，有时用到换元法
3 求等比数列的前n项和时要考虑公比是否等于1，公比是字母时要进行讨论，体现了分类讨论的思想
4 数列求和的基本方法有：公式法，倒序相加法，错位相减法，拆项法，裂项法，累加法，等价转化等
等差数列相关公式：（1）
；（2）通项公式：
；
（3）前n项和公式：
；（4）通项公式推广：
等差数列
的一些性质：（1）对于任意正整数n，都有
；（2）的通项公式
；（3）对于任意的整数
，如果
，那么
；（4）对于任意的正整数
，如果
，则
；（5）对于任意的正整数n>1，有
；（6）对于任意的非零实数b，数列
是等差数列，则是等差数列（7）已知
是等差数列，则
也是等差数列（8）
等都是等差数列；（9）是等差数列
的前n项和，则
仍成等差数列，即
；（10）若
，则
（11）若
，则
（12）
，反之也成立
等比数列相关公式：（1）定义：
；（2）通项公式：
（3）前n项和公式：
；（4）通项公式推广：
等比数列的一些性质：（1）对于任意的正整数n，均有
；（2）对于任意的正整数,如果，则
；（3）对于任意的正整数，如果
，则
（4）对于任意的正整数n>1,有
；（5）对于任意的非零实数b，也是等比数列；
（6）已知是等比数列，则
也是等比数列；（7）如果
，则
是等差数列；
（8）数列是等差数列，则是等比数列；（9）等都是等比数列；(10)是等比数列的前n项和，①当q=－1且k为偶数时，不是等比数列.②当q≠－1或k为奇数时，
仍成等比数列
数列前n项和公式：
；
；
；等差数列中，
；等比数列中，
；裂项求和：
；（
）
三、巩固练习（2004年高考试题）
浙江文理(3) 已知等差数列的公差为2,若
成等比数列, 则
=(A) –4 (B) –6 (C) –8 (D) –10
全国卷四文理6．等差数列中，
，则此数列前20项和等于 A．160 B．180 C．200 D．220
天津卷理8. 已知数列，那么“对任意的
，点
都在直线
上”是“为等差数列”的A. 必要而不充分条件B. 充分而不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
全国卷四文18．已知数列{}为等比数列，
（Ⅰ）求数列{}的通项公式；
（Ⅱ）设是数列{}的前
项和，证明
解：（I）设等比数列{an}的公比为q，则a2=a1q,
a5=a1q4. 依题意，得方程组a1q=6, a1q4=162.解此方程组，得a1=2, q=3.故数列{an}的通项公式为an=2·3n－1
（II） 
全国三文（4）等比数列
中
，则的前4项和为A. 81 B. 120
C. D. 192
全国三文⒆设公差不为零的等差数列{an}，Sn是数列{an}的前n项和，且
,
，求数列{an}的通项公式.
解：设数列{an}的公差为d(d≠0),首项为a1，由已知得：
.解之得：
，
或 
（舍）
全国卷三理⑶设数列是等差数列，
，Sn是数列的前n项和，则（ ）
A.S4＜S5 B.S4＝S5 C.S6＜S5 D.S6＝S5
全国卷三理(22)已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn=2an +(-1)n,n≥1.⑴写出求数列{an}的前3项a1,a2,a3；
⑵求数列{an}的通项公式；⑶证明：对任意的整数m>4，有
解：⑴当n=1时,有：S1=a1=2a1+(-1)
a1=1；当n=2时,有：S2=a1+a2=2a2+(-1)2a2=0；
当n=3时,有：S3=a1+a2+a3=2a3+(-1)3a3=2；综上可知a1=1,a2=0,a3=2；
⑵由已知得：
，化简得：
上式可化为：
，故数列{
}是以
为首项, 公比为2的等比数列.故
∴
数列{}的通项公式为：
⑶由已知得：
. 故 ，( m>4)
天津卷文20.
设是一个公差为
的等差数列，它的前10项和
且
，
，
成等比数列。（1）证明
；（2）求公差
的值和数列的通项公式
证明：因，，成等比数列，故
，而是等差数列，有
，
于是 
，即
，化简得
（2）解：由条件和
，得到
，由（1），，代入上式得
，故 
，
，
浙江卷文（17）已知数列的前n项和为
（Ⅰ）求
；（Ⅱ）求证数列是等比数列
解: (Ⅰ)由
,得
，∴
，又
,即
,得
.(Ⅱ)当n>1时,
得
所以是首项,公比为的等比数列
广东卷17. 已知
成公比为2的等比数列(
也成等比数列. 求的值
解：∵α,β,γ成公比为2的等比数列，∴β=2α，γ=4α，∵sinα,sinβ,sinγ成等比数列
当cosα=1时，sinα=0,与等比数列的首项不为零，故cosα=1应舍去，
北京文理（14）定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。已知数列
是等和数列，且
，公和为5，那么
的值为___，且（文：这个数列的前21项和
的值为_____）（理：这个数列的前n项和
的计算公式为__（ 3 ；（文：52）理：当n为偶数时， 
；当n为奇数时，
）
湖北卷理8文9．已知数列{}的前n项和
其中a、b是非零常数，则存在数列{
}、{
}使得（ ）A．
为等差数列，{}为等比数列 B．和{}都为等差数列 C．
为等差数列，{}都为等比数列 D．和{}都为等比数列
湖南文20．
已知数列{an}是首项为a且公比q不等于1的等比数列，Sn是其前n项的和，a1,2a7,3a4
成等差数列.（I）证明 12S3,S6,S12-S6成等比数列；（II）求和Tn=a1+2a4+3a7+…+na3n
（Ⅰ）证明 由
成等差数列， 得
，即 
变形得 
所以
（舍去）.由 
得 
所以12S3，S6，S12－S6成等比数列
（Ⅱ）解：
即 
①
①×
得： 
所以 
江苏卷15.设数列{an}的前n项和为Sn，Sn=
(对于所有n≥1)，且a4=54，则a1的数值是__2
江苏卷20.设无穷等差数列{an}的前n项和为Sn.(Ⅰ)若首项
，公差
，求满足
的正整数k；(Ⅱ)求所有的无穷等差数列{an}，使得对于一切正整数k都有成立
解：（1）
；（2）
或
或
上海卷理12
若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”.设{an}是公比为q的无穷等比数列,下列{an}的四组量中,一定能成为该数列“基本量”的是第 组.(写出所有符合要求的组号)①S1与S2; ②a2与S3; ③a1与an; ④q与an.其中n为大于1的整数, Sn为{an}的前n项和.（①、④）
全国卷一理15．已知数列{an}，满足a1=1，an=a1+2a2+3a3+…+(n－1)an－1(n≥2)，则{an}的通项
（ 答案
）
全国卷一理22．已知数列
，且a2k=a2k－1+(－1)k, a2k+1=a2k+3k,
其中k=1,2,3,…….
（I）求a3, a5；（II）求{ an}的通项公式
解：（I）a2=a1+(－1)1=0,a3=a2+31=3. a4=a3+(－1)2=4, a5=a4+32=13, 所以，a3=3,a5=13.
(II) a2k+1=a2k+3k = a2k－1+(－1)k+3k, 所以a2k+1－a2k－1=3k+(－1)k, 同理a2k－1－a2k－3=3k－1+(－1)k－1,
……a3－a1=3+(－1).
所以(a2k+1－a2k－1)+(a2k－1－a2k－3)+…+(a3－a1)=(3k+3k－1+…+3)+[(－1)k+(－1)k－1+…+(－1)],
由此得a2k+1－a1=
(3k－1)+
[(－1)k－1],于是a2k+1=
a2k= a2k－1+(－1)k=
(－1)k－1－1+(－1)k=(－1)k=1
{an}的通项公式为： 当n为奇数时，an=
当n为偶数时，
全国卷一文17． 等差数列{}的前n项和记为Sn.已知
（Ⅰ）求通项；（Ⅱ）若Sn=242，求n
解：（Ⅰ）由
得方程组 
解得
所以 
（Ⅱ）由
得方程
解得
全国卷二理（19）数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1＝1，an＋1＝
Sn（n＝1，2，3，…）
证明：(Ⅰ)数列{
}是等比数列；(Ⅱ)Sn＋1＝4an
证（I）由a1=1,an+1=
Sn(n=1,2,3，…)，知a2=
S1=3a1,
, 
,∴
又an+1=Sn+1-Sn(n=1,2,3，…),则Sn+1-Sn=Sn(n=1,2,3，…)，∴nSn+1=2(n+1)Sn,
(n=1,2,3，…).故数列{
}是首项为1，公比为2的等比数列
证（II） 由（I）知，
，于是Sn+1=4(n+1)·
=4an(n
)
又a2=3S1=3,则S2=a1+a2=4=4a1,因此对于任意正整数n≥1都有Sn+1=4an
全国卷二文（17）已知等差数列{an}，a2＝9，a5 ＝21
(Ⅰ)求{an}的通项公式；(Ⅱ)令bn＝
，求数列{bn}的前n项和Sn
解：a5-a2=3d,d=4,an=a2+(n-2)d=9+4(n-2)=4n+1；{bn}是首项为32公比为16的等比数列，Sn=
.
重庆卷理9． 若数列
是等差数列，首项
，则使前n项和
成立的最大自然数n是：（ ） A 4005 B 4006
C 4007 D
4008
重庆卷理22． 设数列
满足
(1) 证明
对一切正整数n 成立；(2)令
,判断
的大小，并说明理由
证(1)：由递推公式得
上述各式相加并化简得 
解(II）：
