高三数学第一次质量检测
一、选择题：本大题共12小题；每小题5分，共60分．在每小题给出的
四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．
（1）与向量
平行的单位向量为（ ）
A．
B．
C．
或
D．
（2）函数
的定义域为（ ）
A.．
B．
C．
D．
（3）已知样本:
那么频率为0.3的范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
（4）已知直线m、n和平面
，则m∥n的一个必要条件是（ ）
A．m∥，n∥
Ｂ．m⊥，n⊥
C．m∥，n
D．m、n与成等角
（5）若正数
满足
，则
的取值范围是（ ）
A．
Ｂ．
C．
D．
（6）设双曲线
的实轴长、虚轴长、焦距成等比数列，则双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
（7）若函数y=f(x) (xÎR)满足f(x+2)=f(x)，且xÎ(－1,1]时，f(x)=x．则函数y=f(x)的图象与函数y=log4x的图象的交点的个数为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
（8）已知点
是抛物线
上的动点，点在
轴上的射影是
，点
的坐标是
，则
的最小值是（ ）
A．
B．4 
C．
D．5
（9）已知函数
的图象与函数
的图象关于
直线
对称，则
的值为 （ ）
A．1
B．
C．2
D．
（10）能够使得圆
上恰有两个点到直线
距离等于1的
的一个值为（ ）
A．2
Ｂ．
C．3
D．
（11）关于x的不等式ax-b>0的解集是(1,+∞)，则关于x的不等式
的解集是（ ）
A．(-∞,-1)∪(2,+∞) B．(-1,2) C．(1,2) D．(-∞,1)∪(2,+∞)
（12）由0，1，2，…，9这十个数字组成的、无重复数字的四位数中，个位数字与百位数字之差的绝对值等于8的个数为（ ）
A.180 B.196 C.210 D.224
第Ⅱ卷(非选择题共90分)
二、填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．
（13）如图，已知点
是棱长为2的正方体
的棱
的中点，则点到平面
的距离等于_____________．
（14）若
，则数列
的前
项和
_____________．
（15）已知
则
．
（16）有两个向量
，
，今有动点
，从
开始沿着与向量
相同的方向作匀速直线运动，速度为
；另一动点
，从
开始沿着与向量
相同的方向作匀速直线运动，速度为
．设、在时刻
秒时分别在
、
处，则当
时，
秒．
三、解答题：本大题6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
(17)(本小题满分12分)
某厂生产的A产品按每盒10件进行包装，每盒产品均需检验合格后方可出厂．质检办法规定：从每盒10件A产品中任抽4件进行检验，若次品数不超过1件，就认为该盒产品合格；否则，就认为该盒产品不合格．已知某盒A产品中有2件次品．
（1）求该盒产品被检验合格的概率；
（2）若对该盒产品分别进行两次检验，求两次检验得出的结果不一致的概率．
(18)(本小题满分12分)
已知偶函数f(x)=cosqsinx－sin(x－q)+(tanq－2)sinx－sinq的最小值是0，求f(x)的最大值及此时x的集合．
(19) (本小题满分12分)
如图，直三棱柱
中，
，
，
为棱
的中点．
|
| |
|
与
所成的角；
|
平面
．
 | |||||
| |||||
| |||||
|
已知二次函数f(x)满足：①在x=1时有极值； ②图象过点(0,-3)，且在该点处的切线与直线2x+y=0平行．
（I）求f(x)的解析式；
（II）求函数g(x)=f(x2)的单调递增区间
(21) (本小题满分12分)
等差数列
中，
，公差
是自然数，等比数列
中，
．
（1）试找出一个的值，使的所有项都是中的项；再找出一个的值，使的项不都是中的项（不必证明）；
（Ⅱ）判断
时，是否所有的项都是中的项， 并证明你的结论；
（Ⅲ）探索当且仅当取怎样的自然数时，的所有项都是中的项，并说明理由．
(22)(本小题满分14分)
如图，已知过点
的直线
与椭圆
交于不同的两点、
，点是
弦
的中点．
（Ⅰ）若
，求点的轨迹方程；
（Ⅱ）求
的取值范围．
高三数学第一次质量检测
参考解答及评分标准
一、选择题：每小题5分，满分60分．
(1)C (2)D (3) B (4)D (5) B (6) B (7)C (8)C (9)D (10)C (11)A (12)C
二、填空题：每小题4分，满分16分．
(13)
； (14)
； (15)
； (16)2．
三、解答题
（17）(本小题满分12分)
解:
(1)从该盒10件产品中任抽4件，有等可能的结果数为
种，……………………1＇
其中次品数不超过1件有
种，…………………………………………………2＇
被检验认为是合格的概率为
……………4＇（本步正确，对上两步不作要求）
．……………………………………………………6＇
(2)两次检验是相互独立的，可视为独立重复试验，…………………………………………7＇
因两次检验得出该盒产品合格的概率均为
，
故“两次检验得出的结果不一致”即两次检验中恰有一次是合格的概率为
…………………………………10＇
．…………………………………………11＇
答：该盒产品被检验认为是合格的概率为；两次检验得出的结果不一致的概率为
．
…………………………………………………………………………………………………12＇
说明：两小题中没有简要的分析过程，各扣1分．
（18）(本小题满分12分)
解：f(x)=cosqsinx－(sinxcosq－cosxsinq)+(tanq－2)sinx－sinq
=sinqcosx+(tanq－2)sinx－sinq．……………………………………………………1¢
因为f(x)是偶函数，
所以对任意xÎR，都有f(－x)=f(x)，……………………………………………………2¢
即sinqcos(－x)+(tanq－2)sin(－x)－sinq=sinqcosx+(tanq－2)sinx－sinq,
即(tanq－2)sinx=0，
所以tanq=2．……………………………………………………………………………5¢
由
…………………………………………………………………6¢
解得
或
……………………………………………………………………8¢
此时，f(x)=sinq(cosx－1).
当sinq=
时，f(x)=(cosx－1)最大值为0，不合题意最小值为0，舍去；.……9¢
当sinq=
时，f(x)=(cosx－1)最小值为0，
当cosx=－1时，f(x)有最大值为
,…………………………………………11¢
自变量x的集合为{xx=2kp+p,kÎZ}．.…………………………………………………12¢
（19）(本小题满分12分)
解法一：
（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系.
设
，
|
，
|
．
|
，
|
异面直线与所成的角为
．
（Ⅱ）
，
.
|
．
|
平面
． 又
平面
，
|
平面平面．
解法二：
（Ⅰ）连结
交于点
，取
中点
，连结
，则∥．
∴直线
与
所成的角就是异面直线与所成的角．
设，
则
，
．
．
中，
，
，
直三棱柱中，，则
．
|
．
|
，
|
异面直线与所成的角为．
（Ⅱ）直三棱柱中，，
平面
．
|
．
又
，
，
，
|
， 
于是
．
| |
平面． 又平面
，
| |
平面平面．
（20）(本小题满分12分)
解：（I）设f(x)=ax2+bx+c，则f ¢(x)=2ax+b．………………………………………………1¢
由题设可得：
即
…………………………………………4¢
解得
…………………………………………………………………………5¢
所以f(x)=x2-2x-3．……………………………………………………………………6¢
（II）g(x)=f(x2)=x4－2x2－3，g ¢(x)=4x3－4x=4x(x－1)(x+1)．………………………8¢
列表：
| x | (-∞,-1) | -1 | (-1,0) | 0 | (0,1) | 1 | (1,+∞) |
| f¢(x) | － | 0 | + | 0 | － | 0 | + |
| f(x) | ↘ | ↗ | ↘ | ↗ |
………………………………………………………………………………………11¢
由表可得：函数g(x)的单调递增区间为(-1,0)，(1,+∞)．………………………12¢
（21）(本小题满分12分)
解：（Ⅰ）
时，的项都是中的项；…………………2＇（任一非负偶数均可）
时，的项不都是中的项．……………………3＇（任一正奇数均可）
（Ⅱ）时，
…………………………………………………4＇
……………………………………………………………5＇
的项一定都是中的项．……………………………………………………………………………7＇
（Ⅲ）当且仅当取
（即非负偶数）时，的项都是中的项．理由是：……………………………………………………………………………………………9＇
①当
时，
时，
，
其中
是
的非负整数倍，设为
（
），
只要取
即（
为正整数）即可得
，即的项都是中的项；……11＇
②当
时，
不是整数，也不可能是的项．…………12＇
（22）(本小题满分14分)
解：（Ⅰ）①若直线∥
轴，则点为
；………………………………………………1＇
②设直线
，并设点
的坐标分别是
，
由
消去，得 
，
①……………………2＇
由直线与椭圆有两个不同的交点，可得
，即
，所以
．……………………………………………………………4＇
由及方程①，得
，
，
即
…………………………………………………………………………6＇
由于
（否则，直线与椭圆无公共点），将上方程组两式相除得，
，代入到方程
，得
，整理，得
（
．
综上所述，点的轨迹方程为（
．……………………8＇
（Ⅱ）①当∥轴时，
分别是椭圆长轴的两个端点，则点在原点
处，所以，
，所以，
；……………………………………………9＇
②由方程①，得
所以，
，
，
所以
．…………………………………………………12＇
因为，所以
，所以
，所以
．
综上所述，
．…………………………………………………………14＇