高三数学第一学期期末练习
高三数学（文）
第I卷（选择题 共50分）
一. 选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知椭圆的两个焦点是
，且点
在椭圆上，则椭圆的标准方程是（ ）
A. 
B.
C. 
D.
2. 设集合
，
，则
等于（ ）
A. 
B.
C. 
D.
3. 若
，则
的最大值是（ ）
A. 3 B. 5 C. 7 D. 9
4. 三个数
的大小关系是（ ）
A. 
B.
C. 
D.
5. 方程
的实数解的个数是（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
6. 长方体从同一顶点出发的三条侧棱之和为11，对角线长为
，那么（ ）
A. 它的全面积为38 B. 它的全面积为76
C. 它的全面积不确定 D. 这样的长方体不存在
7. 5名班委进行分工，其中A不适合做班长，B只适合作学习委员，则不同的分工方案种数为（ ）
A. 18 B. 24 C. 60 D. 48
8. 已知直线l，m，平面
和
，且
，给出下列三个命题
①若
，则
；②若，则；③若
，则
。其中正确命题的个数是（ ）
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
9. 如图，在正方体
中，二面角
的余弦值是（ ）
A. 
B.
C.
D.
10. 定义在R上的函数
的图像如图所示，它在定义域上是减函数，给出如下命题：
①
；②
；③若
，则
；④若
，则
。其中正确的命题是（ ）
A. ②③ B. ①④ C. ②④ D. ①③
第II卷（非选择题 共100分）
二. 填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分。把答案填在题中横线上。
11. 直线
与直线
平行，则实数
的值为_____________。
12. 以抛物线
的焦点为圆心，通径长为半径的圆的方程是_____________。
13. 弹簧上挂的小球作上下振动，它在时间t（秒）时离开平衡位置的距离S（厘米）由下式决定：
。①小球开始时在平衡位置上方
厘米处；②小球下降到最低点时离开平衡位置向下2厘米处；③经过
秒小球重复振动一次。以上三种说法正确的是________________________（把你认为说法正确的序号都填上）。
14. 等差数列
中，
，公差
，则
的值等于___________________。
三. 解答题：本大题共6个小题，共84分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15. （本小题满分13分）
已知函数
，且
，
，求使
的x的集合。
16. （本小题满分13分）
已知函数
，又
成等比数列。
（I）求函数
的解析式；
（II）设
，求数列的前n项和
。
17. （本小题满分15分）
已知函数
。
（I）求函数和
的定义域；
（II）函数和是否具有奇偶性，并说明理由；
（III）证明函数在
上为增函数。
18. （本小题满分15分）
如图，在三棱台
中，侧棱
底面ABC，
，
。
（I）求证
平面
；
（II）求证
平面
；
（III）求
与
所成的角。
19. （本小题满分14分）
某种消费品专卖店，已知该种消费品的进价为每件40元；该店每月销售量q（百件）与销售价p（元/件）的关系用下图中一条折线表示；职工每人每月工资为600元，该店应交付的其他费用为每月13200元。
（I）试求该店每月销售量q（百件）与销售价p（元/件）的关系；
（II）若该店只安排40名职工，求每月的利润S的最大值？并指出此时该种消费品的销售价是多少。
20. （本小题满分14分）
曲线C是中心在原点，焦点为（2，0）的双曲线的右支，已知它的一条渐近线方程是
。线段PQ是过曲线C右焦点F的一条弦，R是弦PQ的中点。
（I）求曲线C的方程；
（II）当点P在曲线C上运动时，求点R到y轴距离的最小值。
【试题答案】
一. 选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分。
1. A 2. C 3. C 4. B 5. D 6. B 7. A 8. B 9. D 10. B
二. 填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。
11. 
12. 
13. ①②③ 14. 4008
三. 解答题：本大题共6个小题，共84分。
15. （本小题满分13分）
已知函数，且，，求使的x的集合。
解：由题意
4分
……9分
又，即
………12分
所求使的x的集合为
…………………13分
16. （本小题满分13分）
已知函数，又成等比数列。
（I）求函数的解析式；
（II）设，求数列的前n项和。
解：（I）函数的解析式是
………………6分
（II）
………………8分
……13分
17. （本小题满分15分）
已知函数。
（I）求函数和的定义域；
（II）函数和是否具有奇偶性，并说明理由；
（III）证明函数在上为增函数。
解：（I）
又
函数的定义域为
函数的定义域
……………5分
（II）由的定义域为
可知函数为非奇非偶函数
为偶函数 ……………10分
（III）设
且
且，
所以
，
，
根据函数单调性的定义知 函数在上为增函数 …………15分
18. （本小题满分15分）
如图，在三棱台中，侧棱底面ABC，，。
（I）求证平面；
（II）求证平面；
（III）求与所成的角。
解：
侧棱平面ABC
又
从而平面 …………4分
平面 
又
平面 ………………8分
连接
，
与所成的角是
（或它的补角）
平面
平面 
在直角三角形
中，
即 异面直线AC与所成的角为
………………15分
19. （本小题满分14分）
某种消费品专卖店，已知该种消费品的进价为每件40元；该店每月销售量q（百件）与销售价p（元/件）的关系用下图中一条折线表示；职工每人每月工资为600元，该店应交付的其他费用为每月13200元。
（I）试求该店每月销售量q（百件）与销售价p（元/件）的关系；
（II）若该店只安排40名职工，求每月的利润S的最大值？并指出此时该种消费品的销售价是多少。
解：（I）由图可得
…………6分
（II）由题意
…………10分
当
时，求得
时，
当
时，求得
时，
……………15分
所以当该店只安排40名职工，每月的利润的最大值为7800元，此时该种消费品的销售价是55元。
20. （本小题满分14分）
曲线C是中心在原点，焦点为（2，0）的双曲线的右支，已知它的一条渐近线方程是。线段PQ是过曲线C右焦点F的一条弦，R是弦PQ的中点。
（I）求曲线C的方程；
（II）当点P在曲线C上运动时，求点R到y轴距离的最小值。
解：（I）设曲线C的方程为
解得
故所求曲线C的方程是
……………5分
（II）当弦PQ的斜率存在时，则弦PQ的方程为
代入 曲线C的方程得
设点
由
………………9分
点R到y轴距离
………………12分
当弦PQ的斜率不存在时，点R到y轴距离
………………13分
点R到y轴距离的最小值为2 ………………14分