试卷类型：A
高三数学调研测试题
第 Ⅰ 卷 (选择题，共60分)
注意事项：
1．请考生将自己的姓名、学号、班级填写在第Ⅱ卷密封线内．
2．每小题选出答案后在第Ⅱ卷前的答题栏内用铅笔把对应题目的答案代号涂黑，如需改动，必须用橡皮擦干净后，再选涂其它答案．
|
|
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.
已知集合A、B，则“A
B”是“A∩B＝A”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2.
过点C (1，2)作直线，使其在坐标轴上的截距相等，则满足条件的直线的斜率为
A．－1 B．±1 C．－1或2 D．±1或2
3.
下列命题中，正确的是
A．两个单位向量的数量积为1 B．若a·b＝a·c，且a≠0；则b＝c
C．若b⊥c，则(a＋c)·b＝a·b D．若9a2＝4b2，则3a＝2b
4.
将函数
按向量a＝(
，1)平移后的解析式是
A．
B．
C．
D．
5.
(理科考生做)已知不等式x－2≤
的解集为{x｜x≤－1或0＜x≤3}，则实数a等于
A．－3 B．－1 C．1 D．3
(文科考生做)已知方程
有一个根大于1，而另一个根小于1，则实数
的取值范围是
A．(－∞，1)∪(9，＋∞) B．(1，9)
C．(－∞，1) D．[1，＋∞)
6.
长方体的一个顶点上的三条棱长分别为1，2，3，该长方体的顶点都在同一个球面上，则这个球的半径为
A．
B．
C．
D．
7. 若函数f (x)
(x∈R)是奇函数，且是周期函数，a是它的一个周期(a≠0)，则
＝
A．
a B．－a C．
D．0
8. 已知直线l⊥平面
，直线
平面
，以下四个命题：①
；②
；③
；④
．
其中真命题是
A．①② B．③④ C．①③ D．②④
9. 已知双曲线的中心在原点，两个焦点为F1 (－
，0)和F2 (，0)，P在双曲线上，满足
＝0且△F1PF2的面积为1，则此双曲线的方程是
A．
B．
C．
D．
10.
(理科考生做)下面说法正确的是
A．离散型随机变量x 的期望Ex 反映了x 取值的概率的平均值
B．离散型随机变量x 的方差Dx 反映了x 取值的平均水平
C．离散型随机变量x 的期望Ex 反映了x 取值的平均水平
D．离散型随机变量x 的方差Dx 反映了x 取值的概率的平均值
(文科考生做)要完成下列2项调查：①从某社区125户高收入家庭，280户中等收入家庭，95户低收入家庭中选出100户调查社会购买力的某项指标；②从某中学高一年级的12名体育特长生中选出3人调查学习负担情况。应采用的抽样方法是
A．①用随机抽样法 ②用系统抽样法 B．①用分层抽样法 ②用随机抽样法
C．①用系统抽样法 ②用分层抽样法 D．①、②都用分层抽样法
11.
不等式
的解集为
A．｛xïx＞－1｝ B．｛xïx＜1｝ C．｛xïx＜2｝ D．｛xï－1＜x＜2｝
|
|
12.
用6种不同的颜色给图中A、B、C、D四块区域涂色，允许同一色涂不同的区域，但相邻的区域不能涂同一色，则不同的涂法共有
A．400种 B．460种
C．480种 D．496种
二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。将正确答案填在题中横线上．
13. (理科考生做)设z＝1＋
i，则
＝ ．
(文科考生做)等差数列{an}中，若a1＋a4＋a7＝15，a3＋a6＋a9＝3，则S9＝ ．
14. 
的展开式的第4项是
.
15. 已知圆x2＋y2＋mx－
＝0与抛物线y＝x2的准线相切，则m= .
16. (理科考生做)关于函数
(a是常数且a≠0)，给出下列命题：①它是一个奇函数；②它在每一点都连续；③它在每一点都可导；④它是一个增函数；⑤它有反函数．其中不正确的命题序号是 ．
(文科考生做)已知函数f (x)＝｜x2－2ax＋b｜(x∈R)．给出下列命题：①f (x)必是偶函数； ②当f (0)＝f (2)时，f (x)的图象关于直线x＝1对称； ③若a2－b≤0，则f (x) 在区间[a，＋∞)上是增函数；④f (x)有最大值｜a2－b｜．其中正确命题的序号是 ．
三．解答题：本大题共6小题，满分74分．
17.
(本大题满分12分)△ABC中，sin A cos2 
+ sin C cos2 
=
sin B , 求角B的范围．
(本大题满分12分) 已知f (x)＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝
与x＝1时，都取得极值．
(1)求a、b的值；
(2)若对x∈[－1，2]，f (x)＜c2恒成立，求c的取值范围．
18. (本大题满分12分) 在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是棱BC、CD上的点，且BE＝CF．
(1)求证：B1F⊥D1E；
(2)当三棱锥C1－CEF的体积取得最大值时，求二面角C1－EF－C的大小．
19.
(本大题满分12分)
(理科考生做) 某保险公司新开设了一项保险业务，若在一年内事件E发生，该公司要赔偿a元．设在一年内E发生的概率为p，为使公司收益的期望值等于a的百分之十，公司应要求顾客交多少保险金？
(文科考生做)有一批食品出厂前要进行五项指标检验，如果有两项指标不合格，则这批食品不能出厂．已知每项指标抽检是相互独立的，且每项抽检出现不合格的概率都是0.2．
(1)求这批产品不能出厂的概率(保留三位有效数字)；
(2)求直至五项指标全部验完毕，才能确定该批食品是否出厂的概率(保留三位有效数字)．
20.
(本大题满分12分)
(理科考生做) 设
，定义
，其中n∈N*．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若T2n＝a1＋2a2＋3a3＋……＋2na2n，
(n∈N*)，试比较9T2n与Qn的大小，并说明理由．
(文科考生做)已知函数f (x)＝(x－1)2，数列{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q (q∈R且q≠1)的等比数列，若a1＝f (d－1)，a3＝f (d＋1)，b1＝f (q＋1)，b3＝f (q－1)．
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；
(2)设数列{cn}的前n项和为Sn，且对一切自然数n均有：
成立，求
．
21.
(本大题满分14分)
(理科考生做)已知二次函数f (x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与x轴有两个不同的公共点，若f (c)＝0，且0＜x＜c时，f (x)＞0．
(1)试比较
与c的大小；
(2)证明：－2＜b＜－1；
(3)当c＞1，t＞0时，求证：
＞0．
(文科考生做)已知奇函数f (x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且f (x)在(0，＋∞)上是增函数，f (1)＝0，函数g (x)＝－x2＋mx＋1－2m，x∈[0，1]．
(1)证明函数f (x)在(－∞，0)上是增函数；
(2)解关于x的不等式f (x)＜0；
(3)当x∈[0，1]时，求使得g (x)＜0且f [g
(x)]＜0恒成立的m的取值范围．
高中调研测试题
高三数学参考答案及评分标准
说明：
1．本解答指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．
2．对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数．
一．选择题：CACB(理(文 BDCC(理(文 BC
二．填空题：13．(理)－1
(文)27 14．960x3 15．
16．(理)①③④ (文)③
三．解答题
17．解：sin
A 
＋sin C 
＝sin B 2分
sin A＋sin A
cos C＋sin
C＋sin
C cos A＝3 sin B
sin A＋sin C＋sin (A＋C)＝3
sin B，∴sin
A＋sin
C＝2sin
B，即2b＝a＋c 6分
由余弦定理，得
10分
∵
0＜B＜
且函数y＝cos x在[0，]上是减函数
∴0＜B≤
，即B的范围是(0，
]． 12分
18．(1)解：由题知f / (x)＝3x2＋2ax＋b＝0的两根为
和1 2分
∴由韦达定理有
4分
(2)解：由(1)知
当x∈[－1，－
)时，f / (x)＞0；x∈(－，1)时，f / (x)＜0；x∈(1，2]时，f / (x)＞0
∴当x＝－时，f (x)有极大值
8分
又f (2)＝2＋c＞，f (－1)＝
＋c＜
∴x∈[－1，2]时，f (x)的最大值为f (2)＝2＋c 10分
∵对x∈[－1，2]，f (x)＜c2恒成立
∴c2＞2＋c，解得c＜－1或c＞2． 12分
|
|
19．(1)证：以A为原点，分别以
为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
设BE＝x，则有B1(a，0，a)，D1(0，a，a)，
E(a，x，0)，F(a－x，a，0)
2分
∴
∴
因此，B1F⊥D1E．
4分
(2)解：
6分
当
时，三棱锥C1－CEF的体积最大，这时E、F分别为BC、CD的中点 8分
连结AC交EF于G点，连结C1G，则AC⊥EF
由三垂线定理知C1G⊥EF，∴∠C1GC是二面角C1－EF－C的平面角
10分
∵
，∴
即二面角C1－EF－C的大小为
． 12分
20．(理科)解：设保险公司要求顾客交x元保险金，若以x 表示公司每年的收益额，则x是一个随机变量，其分布列为：
| x | x | x－a |
P | 1－p | p |
6分
因此，公司每年收益的期望值为Ex ＝x(1－p)＋(x－a)·p＝x－ap． 8分
为使公司收益的期望值等于a的百分之十，只需Ex ＝0.1a，即x－ap＝0.1a，
故可得x＝(0.1＋p)a． 10分
即顾客交的保险金为 (0.1＋p)a时，可使公司期望获益10%a． 12分
(文科)(1)解：这批食品不能出厂的概率是：
P＝1－0.85－
×0.84×0.2≈0.263． 4分
(2)解：五项指标全部检验完毕，这批食品可以出厂的概率是：
P1＝
×0.2×0.83×0.8 8分
五项指标全部检验完毕，这批食品不能出厂的概率是：
P2＝×0.2×0.83×0.2 10分
由互斥事件有一个发生的概率加法可知，五项指标全部检验完毕，才能确定这批产品是否出厂的概率是：P＝P1＋P2＝×0.2×0.83＝0.4096． 12分
21．(理科) (1) 解：∵f 1(0)=2 ∴ 
1分
∵
，
∴
3分
∴数列{an}是首项为，公比为
的等比数列，
4分
(2)证：
6分
8分
当n＝1时，22n＝4，(2n＋1)2＝9，∴9T2n＜Qn
当n＝2时，22n＝16，(2n＋1)2＝25，∴9T2n＜Qn
当n≥3时，
，∴9T2n＞Qn 12分
(文科)(1)解：a1＝f (d－1)＝(d－2)2，a3＝f (d＋1)＝d 2
∴d2＝(d－2)2＋2d，解得d＝2，故an＝2n－2 3分
b1＝f (q＋1)＝q2，b3＝f (q－1)＝(q－2) 2
∴(q－2) 2＝q2×q2，解得q＝－2，故bn＝(－2)n＋1 6分
(2)解：
8分
∴
10分
∴
． 12分
22．(理)(1)证：∵f (x)的图象与x轴有两个不同的公共点
∴方程f (x) ＝0有两个不同的实根
∵f (c)＝0，∴c是方程f (x)＝0的一个根
设方程的另一根为x0，则
2分
若
，由0＜x＜c时，f (x)＞0 得：
，与
矛盾 4分
又方程f (x)＝0有两个不同的实根，∴
≠c，因此
6分
(2)证： f (c)＝0 Û ac＋b＋1＝0，∴b＝－1－ac＜－1
∵
，∴
，∴－2＜b＜－1 ． 10分
(3)证：∵0＜1＜c，∴f (1)＞0，即a＋b＋c＞0 Þ b＞－a－c 12分
又∵，c＞1 ∴
Þ a＜c
∴
，故
(文)(1)证明：任取x1，x2(－∞，0)，且x1＜x2，则－x1，－x2∈(0，＋∞)，且－x1＞－x2
∵f (x)在(－∞，0)∪(0，＋∞)上是奇函数
∴f (－x1)＝－f (x1)， f (－x2)＝－f (x2) ① 2分
∵f (x)在(0，＋∞)上是增函数
∴f (－x1)＞f (－x2) ②
由①②得 －f (x1)＞－f (x2)，即f (x1)＜f (x2)
∴f (x)在(－∞，0)上是增函数． 4分
(2)解：奇函数f (x)满足f (1)＝0且在(0，＋∞)上是增函数
∴当x＞0时，由f (x)＜0得 f (x)＜f (1)，因而0＜x＜1 6分
当x＜0时，由f (x)＜0得 f (x)＜f (1)＝f (－1)，因而x＜－1
∴使f (x)＜0的x的取值范围是(－∞，－1)∪(0，1)． 8分
(3)由(2)知f [g (x)]＜0即g (x)＜－1或0＜g (x)＜1
由题得
10分
由g (x) ＜－1得：－x2＋mx＋1－2m＜－1
即
12分
∵
，∴
当且仅当
，即
时，等号成立
从而
14分