高三数学测试试卷
一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的。）
1.已知集合
若
，则实数
的值为（ ）
1 
-1 
-1或1
-1或0或1
2.函数
的定义域是( )
A.
B.
C.
D.
3.下列求导运算正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
4.设函数
满足
,则函数
的表达式是( )
A.
B. 
C.
D.
5.某工厂生产产品，用传送带将产品放入下一工序，质检人员每隔10分钟在传送带上某一固定位置取一件检验，这种抽样方法是（ ）
A．简单抽样 B.分层抽样 C.系统抽样 D.以上都不对
6．函数
有极值的充要条件是（ ）
A．
B.
C.
D.
7．现有200根相同的钢管,把它们堆放成正三角形垛,使剩余的钢管尽可能的少,那么剩余的钢管有( )
A．20根 B. 19根 C. 10根 D. 9根
8.若
（ ）
A.
B.
C.
D. 不能确定
9．给出下列命题
(1)若
是纯虚数,则
.
(2)
.
(3)复数z总满足
=z
.
(4)复数z
R的充要条件是z=.
上述命题正确的个数是（ ）
A.
1
B. 2
C.3 D.4
10.已知是奇函数,定义域为
.又在区间
上是增函数,且
,则满足
的
取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
11．已知数列
的前
项和为
(
且
)那么数列( )
A.是等比数列.
B.当不等于1时是等比数列
C.从第二项起成等比数列. D.从第二项起成等比数列或等差数列
12．定义：函数
，若存在常数T，对于任意
D，存在唯一的
D，使
=T. 则称函数在D上的理想值为T. 已知=lgx，x[10，100]. 则函数=lgx在[10，100]上的理想值为（ ）
A. 
B.
10 C. 
D. 
二．填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
13.在数列中，若
，且
，则
.
14.设函数
在
处连续,则实数的值为
.
15．用清水清洗衣服,每次都能洗去衣服上污渍的. 若想洗去衣服上的污渍
以上,则至少需清洗
次.
16.老师给出一个函数
,四个学生甲、乙、丙、丁各指出这函数的一个性质.
甲：对于
，都有
. 乙：在
上函数递减.
丙：在
上函数递增. 丁：
不是函数的最小值.
如果其中恰有三人说得正确，请写出一个这样的函数
。
三．解答题（本大题6小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17. （本小题满分12分）从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量
表示所选3人中女生的人数。
（1）求的分布列；
（2）求的数学期望E和方差D；
（3）求“所选3人中女生人数
”的概率。
18．（本小题满分12分）如图，在棱长为1的正方体
中，点E是棱BC的中点，点F是棱CD上的动点。
（1）试确定点F的位置，使得
平面
；
（2）当平面时，求二面角
的大小（结果用反三角函数表示).
19 （本小题满分12分）把边长为4的正方形铁片的四个角各截去一个边长为的小正方形，再将四边沿边线向上折起，做成一个无盖的方底铁盒。
（1）把铁盒容积
表示为的函数
，并指出其定义域；
（2）确定的单调区间；
（3）若要求铁盒的高度与底面正方形边长的比值不超过常数，问取何值时，铁盒容积有最大值.
20．（本小题满分12分）已知数列、
满足：
（为常数），且
其中
.
（1）若是等比数列，试求数列的前项和
的公式；
（2）当是等比数时，甲同学说：一定是等比数列；乙同学说：一定不是等比数列，你认为他们的说法是否正确？为什么？
21．（本小题满分12分）
某俱乐部准备承办一场足球赛,预计共卖出门票2.4万张,票价有3元, 5元, 8元三种,且票价3元和5元的张数(单位:万)的积为0.6.设是门票的总收入,经预算,扣除其他各项支出后,该俱乐部的纯收入函数为
.试问三种门票分别卖出多少张时,纯收入最多?
22．（本小题满分14分）已知二次函数
满足
（1）若
证明的图象与轴有两个交点，且这两个交点间的距离
满足不等式：
（2）设在
处取得最小值，且对任意实数，等式
（其中
为关于的多项式）都成立，试用
表示
和
；
（3）求
；
数学试卷参考答案
一. DBCBC CCCBC DD
二. 13. 
14. 
15. 4 16. 
三. 17. （1）解：可能取的值为0，1，2。
。
所以，的分布列为
|
| 0 | 1 | 2 |
| P |
|
|
|
(6分)
（2）解：由（1），的数学期望为
,
又
, 
(10分)
（3）解：由（1），“所选3人中女生人数”的概率为
(12分)
19. 解：（1）
由
得函数定义域是
（4分）
（2）
令
得
或
（舍去）
当
时，
；
当
时，
。
故
在区间
上是增函数，在区间
上是减函数。（8分）
（3）
由题意，
且
解得的定义域是
，其中
由（2）结论，当
，即
时，在
上是增函数
∴
时，有最大值
当
，即
时，在上增函数，在
上是减函数。
∴时，有最大值。（12分）
20. (1)若是等比数列,且.则可得
(,为常数且
),又
, 
.于是
于是
(6分)
(2) 他们的说法都不正确.
当是等比数列时,令
,由(1)知
,即
.此时数列为: 1,,2,
,4,…… (为常数).
故 当
时,数列非等比数列,甲同学说法错误;
当
时,
,此时为等比数列,乙同学说法错误.（12分）
21.解: 设票价为3元,5元,8元的门票预计分别卖出
万张,
依题意得 
当且仅当
即 
时,上式取等号.
此时, 
均符合条件.
时,最大,从而
有最大值
.
答:预计3元,5元,8元的门票分别卖出0.6,1,0.8万张时,纯收入最多.（12分）
22.（1）证明：
即
的图象与轴有两个交点。令
即
① 显然为方程①的一个根，由根与系数的关系知，方程①的另一个根为
，
解得
即
（5分）
（2）
在
是二次函数的对称轴方程。由图象的对称性及
可知，
。对于等式
，
令，得
，② 令
，得
。③联解②、③，
得
（10分）
（3）
（14分）