高三数学测试题(1)
一、填空题（每小题4分，本题满分48分）
1．复数
是纯虚数，则
=
.
2. 设
，且
，则
=
.
3．已知正
的边长为
，则到三个顶点的距离都为1的平面有_________个.
4．已知
、
是方程
的两个根，则
_________.
5．如果
是定义在
上的偶函数，且当
时，
的图象如图所示，那么不等式
的解集为 .
6．规定记号“
”表示一种运算，即
. 若
，则函数
的值域是___________.
7．已知
依次成等比数列，则
在区间
内的解集为
.
8. 已知数列
中，
，则数列的最大项是第
项.
9．有一组数据：
，它们的算术平均值为10，若去掉其中最大的
，余下数据的算术平均值为9；若去掉其中最小的
，余下数据的算术平均值为11. 则关于n的表达式为__________；关于n的表达式为_______.
10．椭圆
上到两个焦点距离之积最小的点的坐标是________________.
11. 设
，
与
是
的子集，若
，则称
为一个“理想配集”，那么符合此条件的“理想配集”的个数是 .（规定与
是两个不同的“理想配集”）
12．已知集合、、
，
，
，
，若
，
，
，下列命题中: ①
；②
；③
；④
正确命题的序号为__________（注：把你认为正确的序号都填上）
二、选择题（每小题4分，本题满分12分）
13．已知非零向量
，则
是
与
垂直的（ ）
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
14．若
，且
，则m、n、p、q的大小顺序是 ( )
（A）m<p<q<n （B）p<m<q<n （C）m<p<n<q （D）p<m<n<q
15．关于x的方程
有一个根为1，则△ABC中一定有( )
（A）
（B）
（C）
（D）
16.函数
在区间
上的值域是
,则点
的
轨迹是图中的线段（ ）
（A）AB和AD （B）AB和CD
（C）AD和BC （D）AC和BD
三、解答题（本题满分86分）
17．若复数
与
在复平面上所对应的点关于
轴对称，且
，求.（本题12分）
18．三角形ABC中，三个内角A、B、C的对边分别为
，若
且
，求角C的大小. （本题14分）
19．长方体
中，
，
，
是侧棱
的中点.
（1）求证：直线
平面
；（本题15分）
（2）求三棱锥
的体积；
（3）求二面角
的平面角的大小.
20．学校食堂改建一个开水房，计划用电炉或煤炭烧水，但用煤时也要用电鼓风及时排气，用煤烧开水每吨开水费用为
元，用电炉烧开水每吨开水费用为
元
，
其中
为每吨煤的价格，
为每百度电的价格. 如果烧煤时的费用不超过用电炉时的费用，则用煤烧水，否则就用电炉烧水. （本题14分）
（1）如果两种方法烧水费用相同，试将每吨煤的价格表示为每百度电价的函数；
（2）如果每百度电价不低于60元，则用煤烧时每吨煤的最高价是多少？
21. 已知椭圆
（本题15分）
（1）
若圆
与椭圆相交于A、B两点且线段AB恰为圆的直径，求椭圆方程；
（2） 设L为过椭圆右焦点F的直线，交椭圆于M、N两点，且L的倾斜角为600.
求
的值.
22．（理科）已知二次函数
的定义域为
,
且
的最大值为M. （本题16分）
（Ⅰ）试证明
；
（Ⅱ）试证明
；
（Ⅲ）当
时，试求出的解析式.
高三数学测试题(1) 参考答案
一、填空题
1.
； 2. 3；
3．8； 4．
； 5．
； 6．
； 7．
8. 12、13；
9．
； 10．（±5，0）； 11. 9；
12．②
二、选择题
13．C； 14．B； 15．A； 16. B
三、解答题
17．
或
，则
或
18．由
=cosB，故B=600，A+C=1200.
于是sinA=sin(1200-C)=
，又由正弦定理有：
，
从而可推出sinC=cosC，得C=450.
19．（1）依题意：
，
，则
平面
.
（2）
（3）取
的中点
，连
，则
、
，所以
平面
.过在平面
中作
，交
于
，连
，则
,所以
为二面角
的平面角.在
中，
20．（1）由题意得：
，即
.
（2）由S≤P得
∵60 ≤n≤76，∴0≤
≤4
∴当=1时，
，此时n=75. 答：每吨煤的最高价为153元.
21.（1）
（2）∴
或
.
22.（Ⅰ）证明：∵
, 
∴
（Ⅱ）证明：依题意，
，
, 
又
,
,
∴
∴
（Ⅲ）依
时，
,
①
同理
② 
③
②+③得：
④ 由①、④得：
.
当时，分别代入②、③得：
，因此
.