高考数学仿真试题(一)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共150分.考试时间120分钟.
第Ⅰ卷 (选择题 共60分)
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.若函数y=2ｘ的定义域是P＝｛１，２，３｝，则该函数的值域为
A.｛２，４，６｝ B.｛２，４，８｝
C.｛１，０，ｌｏｇ３２｝ D.｛０，１，ｌｏｇ２３｝
2.已知函数y=ｓｉｎ（
ｘ＋θ）ｃｏｓ（ｘ＋θ）在x=2时有最大值，则θ的一个值是
A. 
B.
C.
D.
3.经过点(1，0)且垂直于极轴的直线的极坐标方程是
A.ρ＝sinθ B.ρ＝cosθ
C.ρsinθ＝１ D.ρcosθ＝１
4.在等差数列｛ａｎ｝中，若ａ４＋ａ６＋ａ８＋ａ１０＋ａ１２＝１２０，则２ａ10－ａ12的
值为
A.20 B.22 C.24 D.28
5.已知（２ｘ２＋１）６＝ａ０＋ａ１ｘ２＋ａ２ｘ４＋…＋ａ６ｘ１２，则ａ０＋ａ２＋ａ４＋ａ６的值为
A.
B.
C.
D.
6.一个圆锥被平行于底面的平面截成一个小圆锥和一个圆台，若小圆锥的体积为y，圆台的体积为x，则y关于x的函数图象的大致形状为
7.把函数y=f(x)的图象沿直线x+y=0的方向向右下方平移2
个单位，得到函数ｙ＝ｌｏｇ２ｘ的图象，则
A.f(x)=log２（ｘ＋２）＋２
B.ｆ（ｘ）＝ｌｏｇ２（ｘ－２）＋２
C.ｆ（ｘ）＝ｌｏｇ２（ｘ＋２）－２
D.ｆ（ｘ）＝ｌｏｇ２（ｘ－２）－２
8.小王打算用70元购买面值为20元和30元的两种IC电话卡，若他至少买一张，则不同的买法一共有
A.5种 B.6种 C.7种 D.8种
9.已知如图∠Ｃ＝９０°，AC=BC,M、N分别为BC和AB的中点，沿直线MN将△BMN折起，使二面角Ｂ′－MN－Ｂ为60°，则斜线Ｂ′Ａ与平面ABC所成角的正切值为
A.
B.
C. 
D.
10.已知函数y=f(x)对任意实数都有f(-x)=f(x),f(x)=-f(x+1)且在［０，１］上单调递减，则
A.ｆ（
）＜ｆ（
）＜ｆ（
）
B.ｆ（）＜ｆ（）＜ｆ（）
C.ｆ（）＜ｆ（）＜ｆ（）
D.ｆ（）＜ｆ（）＜ｆ（）
11.椭圆
＝１的焦点Ｆ１和Ｆ２，点P在椭圆上，如果线段PＦ１的中点在y轴上，那么｜ＰＦ１｜∶｜ＰＦ２｜的值为
A.７∶１ B.５∶１ C.９∶２ D.８∶３
12.函数y=
的大致图象如图所示则
A.ａ∈（－１，０） B.ａ∈（０，
）
C.ａ∈（，１） D.（１，＋∞）
第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上）
13.sin80°cos35°－sin10°cos55°＝ .
14.已知抛物线ｙ２＝ａ（ｘ＋１）的准线方程是ｘ＝－３，那么抛物线的焦点坐标是
.
15.已知f(x)=aｘ（ａ＞１），ｇ（ｘ）＝ｂｘ（ｂ＞１），当f(x１)＝ｇ（ｘ２）＝２时，有ｘ１＞ｘ２，则ａ、ｂ的大小关系是 .
16.设正数数列｛ａｎ｝的前n项和为Sｎ，且存在正数t，使得对于所有自然数n，有
成立，若
＜ｔ，则ｔ的取值范围是 .
三、解答题(本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.（本小题满分12分）
已知π≤θ≤
，ｙ＝－３cosθ＋２ｉsinθ.
(Ⅰ)求复数ｚ的模的取值范围；
(Ⅱ)若argz＝２π－arctg
，求
的值.
18.(本小题满分12分)
设两个向量ｅ１ 、ｅ２ ，满足｜ｅ１ ｜＝２，｜ｅ2 ｜＝１，ｅ１ ，ｅ2 的夹角为60°，若向量2ｔｅ１ ＋７ｅ2 与向量ｅ１ ＋ｔｅ2的夹角为钝角，求实数t的取值范围.
19.（本小题满分12分）
在边长为a的正三角形的三角处各剪去一个四边形，这个四边形是由两个全等的直角三角形组成的，并且这三个四边形也全等，如图（1）若用剩下的部分折成一个无盖的正三棱柱形容器如图（2），则当容器的高为多少时，可使这个容器的容积最大，并求出容积的最大值.
20.（本小题满分12分）
已知三棱锥P－ＡＢＣ中，PC⊥底面ABC，ＡＢ＝ＢＣ，Ｄ、Ｅ、F分别为AC、PA、PC的中点，DE⊥ＡＰ于E.
（Ⅰ）求证：ＡＰ⊥平面BDE；
（Ⅱ）求证：平面ＢＤＥ⊥平面ＢＤＦ；
（Ⅲ）若AE∶ＥＰ＝１∶２，求截面BEF分三棱锥Ｐ－ＡＢＣ所成两部分的体积比.
21.(本小题满分14分)
设曲线ｃ：ｙ＝ｘ２（ｘ＞０)上的点Ｐ０（ｘ０，ｙ０)，过Ｐ０作曲线ｃ的切线与x轴交于Q１，过Q１作平行于y轴的直线与曲线c交于P１（ｘ１，ｙ１），然后再过Ｐ１作曲线c的切线交x轴于Ｑ２，过Ｑ２作平行于y轴的直线与曲线c交于Ｐ２（ｘ２，ｙ２），依次类推，作出以下各点：Ｐ０，Ｑ１，Ｐ１，Ｑ２，Ｐ２，Ｑ３…Ｐｎ，Ｑｎ＋１…，已知ｘ０＝２，设Ｐｎ（ｘｎ，ｙｎ）（ｎ∈N)
(Ⅰ)求出过点Ｐ０的切线方程；
(Ⅱ)设ｘｎ＝ｆ（ｎ），求ｆ（ｎ）的表达式；
(Ⅲ)设Ｓｎ＝ｘ０＋ｘ１＋…＋ｘｎ，求Ｓｎ.
22.（本小题满分12分）
已知函数f(x)=－
（Ⅰ）求证：函数y=f(x)的图象关于点（
，－）对称；
（Ⅱ）求f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)的值；
（Ⅲ）若ｂｎ＝
，求证：对任何自然数n，总有
ｂｎ＞ｎ２成立.
高考数学仿真试题(一)答案
一、1.B 2.A 3.D 4.C 5.B 6.C 7.A 8.C 9.B 10.B 11.A 12.B
二、13.
14.(1，0) 15.a＜b 16.（
，＋∞）
三、17.解：(Ⅰ)∵ｚ＝－３cosθ＋２ｉsinθ
∴｜ｚ｜＝
3分
∵π≤θ≤，∴０≤cos２θ≤１ ∴２≤｜ｚ｜≤３
∴复数ｚ的模的取值范围是［２，３］ 6分
(Ⅱ)由ｚ＝－３cosθ＋２ｉsinθ，得tg（argｚ）＝－
tgθ ８分
而已知argｚ＝２π－arctg
∴－tgθ＝－ ∴tgθ＝
10分
∴
１２分
18.解：ｅ１２＝４，ｅ2２＝１，ｅ１·ｅ2＝２×１cos６０°＝１ 2分
∴(2ｔｅ１＋7ｅ2)·(ｅ１＋ｔｅ2)＝２ｔｅ１２＋（２ｔ２＋７）ｅ１·ｅ2＋７ｔｅ２２＝
２ｔ２＋１５ｔ＋７ 6分
∴２ｔ２＋１５ｔ＋７＜０ ∴－７＜ｔ＜－ ８分
设２ｔｅ１＋７ｅ2＝λ（ｅ１＋ｔｅ2）(λ＜０)
10分
∴ｔ＝－
时，２ｔｅ１＋７ｅ2与ｅ１＋ｔｅ2的夹角为π 11分
∴ｔ的取值范围是（－７，－）∪（－，－） １２分
19.解：设容器的高为x，则容器底面正三角形的边长为a-2ｘ 2分
∴Ｖ（ｘ）＝
ｘ·（A－２ｘ）２（０＜ｘ＜
） 4分
＝·
·４×（a－２ｘ）（a－２ｘ）≤
10分
当且仅当4x=a-2x,即x=
时，
Vmax=
12分
答：当容器的高为时，容器的容积最大，最大值为.
20.（Ⅰ）证明：∵PC⊥底面ABC，BD
平面ABC，
∴PC⊥BD，由AB＝BC，D为AC的中点，
得BD⊥AC，又PC∩AC＝C，∴BD⊥平面PAC 2分
又PA平面PAC，∴BD⊥PA，由已知DE⊥PA，PE∩BD＝D，
∴AP⊥平面BDE 4分
(Ⅱ)证明：由BD⊥平面PAC，DE平面PAC，得BD⊥DE，由D、F分别为AC、PC的中点
∴DF∥AP，又由已知DE⊥AP，∴DE⊥DF 6分
BD∩DF＝D，∴DE⊥平面BDF，又DE平面BDE，∴平面BDE⊥平面BDF
8分
(Ⅲ)解：设点E和点A到平面PBC的距离分别为ｈ１和ｈ２
则ｈ１∶ｈ２＝ＥP∶AP＝２∶３ 9分
∴
11分
所以截面BEF分三棱锥P－ABC所成两部分体积比为１∶２或（２∶１） 12分
21.解：(Ⅰ)∵Ｋ０＝２ｘ０＝４，∴过点P０的切线方程为４ｘ－ｙ－４＝０ 4分
(Ⅱ)∵Ｋｎ＝２ｘｎ，∴过Pｎ的切线方程为
ｙ－ｘｎ２＝２ｘｎ（ｘ－ｘｎ） 6分
将Qｎ＋１（ｘｎ＋１，０）的坐标代入方程得：
－ｘｎ２＝２ｘｎ（ｘｎ＋１－ｘｎ）
∴ｘｎ＋１＝
8分
故｛ｘｎ｝是首项为ｘ０＝２，公比为的等比数列
∴ｘｎ＝f(n)=2·（）ｎ，即f(n)＝（）ｎ－１ 10分
(Ⅲ)Ｓｎ＝
∴Sn=4(1-
)=4 14分
22.(Ⅰ)证明：设P(x,y)是y=f(x)的图象上任意一点，关于（，－）对称点的坐标为（１－ｘ，－１－ｙ） 2分
由已知y=－则－１－ｙ＝－１＋＝－
,f(1-x)＝
－
∴－１-ｙ＝f（１－ｘ），即函数ｙ＝f（ｘ）的图象关于点（，－）对称. 4分
(Ⅱ)解：由(Ⅰ)有f(1-x)=-1-f(x)即f(x)+f(1-x)=-1
∴f(-2)+f(3)=-1,f(-1)+f(2)=-1,f(0)+f(1)=-1
则f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=-3 8分
(Ⅲ)证明：bｎ＝
bｎ＝３ｎ 9分
不等式bｎ＞ｎ２即为３ｎ＞ｎ２
下面用数学归纳法证明
当n=1时，左＝３，右＝１，３＞１不等式成立
当n=2时，左＝９，右＝４，９＞４不等式成立
令n=k(k≥２）不等式成立即３ｋ＞ｋ２
则ｎ＝ｋ＋１时，左＝３ｋ＋１＝３·３ｋ＞３·ｋ２
右＝（ｋ＋１）２＝ｋ２＋２ｋ＋１
∵３ｋ２－（ｋ２＋２ｋ＋１）＝２ｋ２－２ｋ－１＝２（ｋ－）２－
当ｋ≥２，ｋ∈N时，上式恒为正值
则左＞右，即３ｋ＋１＞（ｋ＋１）２，所以对任何自然数n，总有３ｎ＞ｎ２成立，即对任何自然数n，总有bｎ＞ｎ２成立 12分