高三年级第四次阶段考试数学试题
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一个选项正确.
1．已知
，则
( )
2.在
中，条件甲：
；条件乙：
,那么甲是乙的（ ）
充分非必要条件 必要非充分条件 充要条件 非充分非必要条件
3．在坐标平面内，与点
的距离是1，且与点
的距离为2的直线共有（ ）
1条
2条
3条
4条
4．已知
，则
有（ ）
最大值
最小值 最大值1 最小值1
5．已知数列
中，
，能使
的
的数值是（ ） 14 15 16 17
6．在圆
内一点
有条弦,这条弦的长度成等差数列，若过点
的圆的最短的弦长为数列的首项
，最长的弦长为为
，若公差
，则的取值集合为（ ）
{5，6，7} {4，5，6} {3，4，5} {3，4，5，6}
7．函数
满足
，且
，则
＝
8．函数
，则
的大小关系为（ ）
9．设
为坐标原点，抛物线
与过焦点的直线交于
、
两点，则
( )
10.设
时，不等式
恒成立，则
的取值范围是（ ）
11．若椭圆经过原点，且焦点
,则其离心率为（ ）
12．的顶点为
、
，的内切圆的圆心在直线
上，则顶点
的轨迹方程是（ ）
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在第二卷相应的横线上。
13．在
和
之间插入三个数，使这三个数成等比数列，则插入的这三个数的乘积为 。
14．若
，则
在
方向上的投影为
。
15．要用一块边长为的正方形铁板四角各剪去一个小正方形，再把四边折起焊成一个无盖水箱，当四角正方形边长
时，水箱的容积最大。
16．设函数
，则使
的自变量
的范围是
。
17．设
满足约束条件
，则
的最大值为
。
18．已知圆方程为
，动抛物线过点
且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点的轨迹方程为
。
三、解答题：本大题共5小题，共66分，19-20小题满分12分，21-23小题满分14分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
19．已知向量
（
为常数），若向量
与的夹角
为锐角，求实数的取值范围。
20．已知数列是各项为不同的正数的等差数列，
、
、
成等差数列，又
（
）。
（1）证明：
为等比数列；
（2）若数列的前3项的和为
，求数列的首项和公差
。
21．设计某高速公路时，要求最低车速为
，最小车距为
（
为定值），并且车速
与车距之间必须满足关系：
。
（1）求常数
的值；
（2）求这条高速公路上的一条车道上每小时的最高车流量（单位时间车流量＝
）。
22．已知双曲线的方程为
，过右焦点
作双曲线在第一、三象限的渐近线的垂线，垂足为,与双曲线的左、右支交点分别为、。
（1）求证：点在双曲线的右准线上；
（2）求双曲线的离心率
的取值范围；
（3）若
,求离心率。
23．已知定义在实数集上奇函数
有最小正周期2，且当
时，
。
（1）求函数在
上的解析式；
（2）证明：函数在上是减函数；
（3）当
为何值时，方程
在上有实数解。